2021 Fiscal Year Research-status Report
Discrete integrable systems and Diophantine problems
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21K18577
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
伊藤 哲史 京都大学, 理学研究科, 准教授 (10456840)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
谷口 隆 神戸大学, 理学研究科, 教授 (60422391)
内田 幸寛 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90533258)
大下 達也 群馬大学, 共同教育学部, 准教授 (70712420)
石塚 裕大 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 助教 (50761136)
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| Project Period (FY) |
2021-07-09 – 2024-03-31
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| Keywords | ディオファントス問題 / アーベル多様体 / 離散可積分系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では、状態遷移が離散的な系である離散可積分系を代数多様体の有理点と結びつけることでディオファントス問題に応用する。また、ディオファントス問題に関する数論の知見を応用して離散可積分系の性質の解明に挑戦する。従来は別々の研究対象として考えられていた離散可積分系とディオファントス問題を、一つの数学的対象・現象の異なる側面としてとらえて研究を進める。
本年度は離散可積分系から定まる数列の数論的性質の研究を行った。様々な素数について、その素数を法とした剰余により得られた数列の周期について数値実験を行った。数値実験の結果、いくつかの数列について、剰余列の周期がハッセ・ヴェイユ型の不等式を満たすことが観察された。この結果は数列がアーベル多様体の有理点と結びつくことを示唆していると考えられる。
また、幾何的な議論によりアーベル多様体の有理点と結びつける手法についての研究を行った。代数曲線のヤコビ多様体上の有理点を計算するために等分多項式の計算を行い、離散可積分系との関係を研究した。幾何的な研究をさらに進めるには、離散可積分系に付随するラックス対から定まる代数曲線上の連接層を計算する必要があると考えられるため、次年度も継続して研究を行う。
また、パラメータによっては、アーベル多様体を用いても現時点では説明できない性質を持つ数列が得られることも観察された。まだ解明されていない現象が隠れていると思われるため、次年度も継続して研究を行う予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題では、理論的・幾何的な考察と、計算機による数値実験の双方を行うことで研究を進める計画となっている。
理論的にはまだ完全な結果には至っていないが、おおむね当初の予定通りの結果が得られており、今後も継続して研究を進めることで当初の計画通りの成果を得ることができると考えている。
また、計算機による数値実験についても、おおむね期待通りの結果が得られている。パラメータによっては現時点では理論的に説明できない数列が得られることも観察された。まだ解明されていない現象が隠れていると思われるため、次年度も継続して研究を行う。
以上の理由により、本研究課題はおおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度の研究に引き続き、理論的・幾何的な考察と計算機による数値実験の双方を行うことで研究を進める。
理論的には、代数曲線のヤコビ多様体上の有理点の公式と離散可積分系の関係を解明する必要がある。楕円曲線や種数2の曲線の場合の先行研究を元に研究を進める。また、離散可積分系の知見を応用して、アーベル多様体の有理点のなす群や、代数体のイデアル類群などの数論的不変量の分布の研究に応用する。
これらの研究には計算機による数値実験が不可欠であるため、理論研究と並行して、不変量を計算するアルゴリズムの開発も行う。
さらに、これらの研究を進めて、可積分とは限らないより一般の離散力学系の研究にも挑戦する。近年の研究において、クラスター代数よりも広いクラスにおいてローラン性が成り立つことが分かってきた。これらはローラン現象代数として表現論や数理物理において活発に研究されているが、ディオファントス問題との関係はまだ分かっていない。そこで、ローラン現象代数を幾何的対象と結びつけて、その数論的性質の解明にも挑戦する予定である。
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| Causes of Carryover |
感染症の影響で当初予定していた対面での研究打ち合わせがオンラインとなった。また、当初計画していた出張や研究者招聘が一部取りやめとなった。
次年度は、感染症には十分な対策を行い、対面での研究打ち合わせを行う。また、出張や研究者招聘を行う。
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