2022 Fiscal Year Research-status Report
q-指数関数と一般化三角関数を繋ぐオイラー型関係式
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21K18582
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
猪奥 倫左 東北大学, 理学研究科, 准教授 (50624607)
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| Project Period (FY) |
2021-07-09 – 2024-03-31
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| Keywords | q指数・対数関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
臨界型関数不等式を劣臨界の連続極限として導出する研究を行い，Radial Lemmaから導かれるq指数関数を用いてMoser--Trudinger不等式の劣臨界近似を得た．不等式を成立させるような汎関数の劣臨界近似はいくらでも考えることができるが，本研究では集中レベルの連続性を持つような劣臨界近似の構成に成功した．得られた結果はProceedings AMSに掲載が決定している．また，この劣臨界近似をより強い収束性で示すために，Gamma--Convergenceの証明を試みた．最終的な結論までは得られていないが，結果が肯定的であることを示唆する部分的な結果を得た．より具体的には，劣臨界指数$p$に関する不等式の一様有界性が証明できればこれらの強い収束性が期待できることがわかった．現在は一様有界性を証明するために，汎関数の構造を精査するとともに，Moserによる原証明に立ち返って研究を進めている．
また，本研究の主題であるオイラー型関係式を探るため，非線形固有値問題との関連性を考察した．特にq三角関数やq指数対数関数そのものではなく，背後にある微分方程式の構造を解析した．具体的には両q関数が関数不等式の最良定数を達成する最適化関数として現れることに注目し，最良定数の連続性から両関数の関連性を探ったが，現在までに明確な関連性を得るには至っていない．今後は微分作用素の一般化なども含めて検討していく．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
得られた研究成果は専門欧文雑誌に掲載が決定している．また，海外において2件の研究発表を行った．さらに，オイラー型関係式には辿り着いていないものの，背後にある微分方程式の構造的な類似性について解析を行った．
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| Strategy for Future Research Activity |
q指数関数とq三角関数をつなぎ合わるために，背後にある関数不等式の最良定数および最適化関数に注目し，最良定数の収束性に対する知見を蓄積していく．来年度も引き続き，最良定数のさまざまな意味での連続性について考察を深める．具体的にはGamma--Convergenceを明らかにする．さらに得られた知見をもとに，最良定数の連続性の観点から両q関数の関連性を研究する．
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| Causes of Carryover |
感染症蔓延に伴い，本研究に伴い予定していた研究集会や出張が実施できなかったため，実施計画が後ろ倒しになっている．本年度からは感染症対策レベルが低下することに伴い，実施することができなかった国内出張および勉強会の開催，さらに海外出張を実施することで集中的に本研究課題を遂行していく．
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