A study on the Witten genus by C*-algebras of Hilbert manifolds

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 21K20320
• Research Category: Grant-in-Aid for Research Activity Start-up
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Review Section: 0201:Algebra, geometry, analysis, applied mathematics,and related fields
• Research Institution: Niigata University
• Principal Investigator: Takata Doman 新潟大学, 人文社会科学系, 講師 (50911583)
• Project Period (FY): 2021-08-30 – 2023-03-31
• Keywords: 指数定理 / ループ空間 / Ｈｉｌｂｅｒｔ多様体のＣ＾＊環 / 位相的Ｋ理論 / ＫＫ理論 / 非可換幾何学

Outline of Final Research Achievements

The theme of this research is to construct an index theory for loop spaces. A free loop space is a natural object in mathematics and physics. There was no rigorous framework for index theory of loop spaces. In this research, I constructed an index theory for loop spaces in terms of noncommutative geometry, in which the S1-equivariant analytic index homomorphism is a homomorphism from KK-group of the C*-algebra of a loop space. My next challenge is to construct a concrete element of the KK-group of the C*-algebra of a loop space and to investigate properties of the index homomorphism using some algebraic topological technique.

Free Research Field

非可換幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

まず，ループ空間の指数理論は，Ｗｉｔｔｅｎを初めとして，様々な数学者・物理学者が興味を持っていたが，それを非可換幾何という正当な枠組みで構成したことは，学術的に非常に重要な結果である．その副産物として，Ｈｉｌｂｅｒｔ多様体のＣ＾＊環のある種の関手性についての結果を得た．Ｈｉｌｂｅｒｔ多様体のＣ＾＊環の定義は非常に自然であるため，そのような結果が出たことは，今後のＨｉｌｂｅｒｔ多様体の研究において意味のあることである．
ループ空間は，数学だけでなく物理においても自然な対象であり，固定点公式の記述で計算能力の高い位相的Ｋ理論を用いた本研究は，将来的には物理への応用も期待できる．