2021 Fiscal Year Research-status Report
Sobolev-Orlicz embedding theorems for Dirichlet spaces and their probabilistic interpretation
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21K20326
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| Research Institution | Kyoto Institute of Technology |
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Principal Investigator |
森 隆大 京都工芸繊維大学, 基盤科学系, 助教 (80909911)
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| Project Period (FY) |
2021-08-30 – 2023-03-31
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| Keywords | Dirichlet形式 / Katoクラス測度 / Sobolev不等式 / intersection measure |
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| Outline of Annual Research Achievements |
確率過程の熱核(推移確率)及びGreen函数の一様な L^p 可積分性に相当する L^p-Kato 性, また, それらの緊密な L^p 可積分性に相当する L^p-Green-tight 性は, 独立なp本の確率過程の軌跡が交差する条件や交差した量を記述する intersection measure の解析に本質的な性質であると考えられている. また, L^p-Kato 性は確率過程に対応するDirichlet空間の L^2p 空間への Sobolev 型埋め込み定理と, L^p-Green-tight 性は L^2p 空間への Rellich-Kondrachov 型コンパクト埋め込み定理との関連性が本研究者により前年度までに得られていた. 2021年度ではこれらの研究成果を国内の研究集会にて発表し, 本研究課題との関連性を議論した. 特に, 確率論だけでなく測度距離空間上の微分幾何学の研究者も参加する研究集会で成果発表することができたため, 新しい接点を求めて今後も積極的に交流を続けていきたい. また, intersection measure を確率場として扱うような応用研究をするための準備を行った. p=1の場合の確率場に相当する random interlacement と呼ばれる対象をDirichlet空間の一般論の視点から考察し, 反射Dirichlet空間や周遊理論との関係性を調べた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初想定していた, 一般の確率過程に対するp本の軌跡の多重点の確率論的性質と L^p-Kato 性という, 確率論的条件と実解析学的条件の同値性を完全に考察するまでには至らなかったものの, intersection measure を確率場として扱うような応用研究をするための準備を行うことができた.
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| Strategy for Future Research Activity |
2022年度では無限回の多重点について実解析学の視点から研究を行う. L^p-Kato 性, Dirichlet空間の L^2p 空間への Sobolev 埋め込み といった性質の pを無限大にしたものに相当する, 臨界 Dirichlet 空間の一般の Orlicz 空間への連続埋め込みと, レゾルベントの指数オーダーでの可積分性の対応の理論の構築を行い, その後, 臨界 Dirichlet空間の Trudinger-Moser 型不等式に対応する無限回の多重点の性質の同定を試みる.
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| Causes of Carryover |
2021年度は感染症蔓延のため国内外の研究打合せ及び研究集会への参加が著しく制限されたため, 多くをオンラインで対応せざるを得なかった. 2022年度は状況の改善が見込めるため, 主に国内の研究集会に積極的に参加し研究交流を行う.
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