2022 Fiscal Year Research-status Report
Extension of Milnor link invariants to linkoids
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21K20327
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
和田 康載 神戸大学, 理学研究科, 助教 (30836698)
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2021-08-30 – 2024-03-31
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| Keywords | リンコイド / ミルナー不変量 / 仮想結び目 / ねじれ数 / 2k-移動 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2次元ユークリッド空間にはめ込まれたm個の円周およびn個の単位区間で、多重点が横断的な2重点のみであるものを、(m, n)型リンコイド図式という(mとnは非負整数)。ただし、各2重点には交点の情報が与えられているとする。ライデマイスター移動と呼ばれる3種類の局所変形で生成される同値関係による(m, n)型リンコイド図式の同値類を、(m, n)型リンコイドという。とくに(1, 0)型リンコイドは結び目のことであり、この意味でリンコイドは結び目の一般化とみなせる。
昨年度に実施した研究により、絡み目のミルナー不変量を、(0, n)型リンコイドの不変量に拡張することができていた。そこで、本年度は絡み目のミルナー不変量を、1以上の整数mに対する(m, n)型リンコイドの不変量に拡張することに取り組んだが、残念ながら満足のいく結果を得ることはできなかった。
一方で、リンコイドとは異なる結び目の一般化にあたる、仮想結び目の研究について以下のふたつの成果が得られた。
(1) 仮想結び目の基本的な不変量であるn-ねじれ数と、2k-移動と呼ばれる局所変形との間に、関係があることを見出した。すなわち、ふたつの仮想結び目が2k-移動の有限列で互いに移り合うならば、それらのn-ねじれ数の値はkを法として合同であることを示した。
(2) 奇数nにわたるn-ねじれ数の和は、仮想結び目の奇ねじれ数とよばれる。この不変量は、クシイ移動と呼ばれる局所変形と対応することが知られている。この結果を踏まえ、2k-移動とクシイ移動を組み合わせて考えることにより、奇ねじれ数の2kを法とした合同類が反映する仮想結び目の幾何的な性質を明らかにすることができた。すなわち、ふたつの仮想結び目が2k-移動およびクシイ移動の有限列で互いに移り合うための必要十分条件は、それらの奇ねじれ数が2kを法として合同であることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
社会情勢を考慮して、当初の研究計画で予定していた、国内外の研究集会への参加をいくつか見送った。同様に、当初予定していた国内外の研究者との研究打ち合わせの実施をいくつか見送った。これにより、研究計画を変更せざるを得ず、本研究課題の期間を延長したため。
しかしながら、「研究実績の概要」欄で述べたように、仮想結び目の不変量と局所変形の研究に関して一定の研究成果が得られていることから、現在までの達成度を、(4) 遅れているではなく、(3) やや遅れていると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究の進捗状況を踏まえて、今後の研究として、主に以下のふたつの研究を推進する予定である。
(1) 本年度達成できなかった、絡み目のミルナー不変量を、1以上の整数mに対する(m, n)型リンコイドの不変量に拡張することに取り組む。
(2) 本年度得られた、2k-移動とクシイ移動を組み合わせて得られる同値関係による仮想結び目の分類を、2成分仮想絡み目へ拡張することに取り組む。これまでの研究で、クシイ移動で生成される同値関係による、2成分仮想絡み目の分類が得られている。そこで、この結果を精査し、改良することにより、当該課題の解決を図る。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの感染拡大の社会情勢に鑑み、現地参加を予定していた対面開催の研究集会への出張を取りやめた。同様の理由により、国内外の研究者との研究打ち合わせを予定通りに実施することができなかった。取りやめた国内および国外出張で使用する予定であった旅費の分、次年度使用額が生じた。
次年度使用額分は主に出張旅費として使用し、研究成果発表および情報収集のために国内外の研究集会や学会へ参加すること、国内外の研究者と研究打ち合わせを行うことを計画している。
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