Homogenization in Anomalous Diffusion Phenomena and its Applications to Inverse Problems

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K20333
• Research Institution: Takushoku University
• Principal Investigator: 川本 敦史 拓殖大学, 工学部, 准教授 (10910052)
• Project Period (FY): 2021-08-30 – 2024-03-31
• Keywords: 逆問題 / 数理モデル / 異常拡散現象 / 非整数階拡散方程式 / 均質化法

Outline of Annual Research Achievements

2022年度は，異常拡散現象を記述する時間非整数階拡散方程式に対して均質化法とその逆問題への応用について研究を行った．2021年度の段階で，時間非整数階拡散方程式の均質化法の研究はおおむね完了している．そこで，本年度は主として昨年度得られた均質化法の逆問題への応用を研究した．具体的には次の2つの逆問題を考えた：
(1)周期的な構造における観測データから均質化された構造における時間非整数階拡散方程式の拡散係数を決定する逆問題．
(2)均質化された構造における観測データから周期的な構造における時間非整数階拡散方程式の拡散係数を決定する逆問題．
この2つの逆問題を解決するために，時間非整数階拡散方程式の拡散係数が定数である場合に，その定数拡散係数を観測データから決定する逆問題の研究を行った．均質化法により導出される時間非整数階拡散方程式の拡散係数は定数になるため，この定数拡散係数決定逆問題の解決が上の2つの逆問題(1)と(2)を解くためのカギとなる．このような逆問題については先行研究が少なく，数学的にも独特な困難さがある．そこで，この定数拡散係数決定逆問題について本年度から共同研究を行い，逆問題における一意性と安定性の結果を得た．そして，特別な仮定を課した場合ではあるものの，定数拡散係数決定逆問題の結果と均質化法の結果を統合することで，上の2つの逆問題(1)と(2)における一意性と安定性を導出することができた．
今後の研究計画としては，まず，学術論文誌への論文掲載を目指す．また，研究成果について研究集会や学会などで口頭発表を行いたい．次に，研究の展開として，時間非整数階偏微分方程式に対する均質化法の周辺の話題に取り組みたいと考えている．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

2022年度は，時間非整数階拡散方程式に対する均質化法の逆問題への応用として，次の2つの逆問題における一意性と安定性を得た：
(1)周期的な構造における観測データから均質化された構造における時間非整数階拡散方程式の拡散係数を決定する逆問題．
(2)均質化された構造における観測データから周期的な構造における時間非整数階拡散方程式の拡散係数を決定する逆問題．
本年度は，時間非整数階拡散方程式に対する均質化法とその逆問題への応用についての一連の結果を一つの論文として執筆した．しかしながら，その論文は，現在投稿中であり掲載には至っていない．また，研究集会や学会などでの研究成果の発表も行えていない．そこで，科学研究費助成事業（学術研究助成基金助成金）補助事業期間延長承認申請を行った．
当初の研究実施計画では，学術論文の執筆に加え，研究集会や学会などで口頭発表も含めた研究成果の発表も行う予定であった．また，研究の展開として，時間非整数階偏微分方程式に対する均質化法の周辺の話題などの研究も行う計画であった．しかしながら，先行研究がほとんどない問題を考えていたため，研究遂行に想定以上の時間がかかってしまった．また，昨年度から引き続き本年度もコロナ渦によって様々な制約があり，十分な研究打ち合わせができなかった．さらに，研究以外の業務により多忙を極めた．具体的には，学内の教育改革に対応するため，授業準備や教材作成などの教育タスクなどが例年以上に増加してしまった．そのため，研究内容については概ね達成したが，論文の掲載や口頭発表などの研究成果の公表に遅れが発生した．したがって，現在の進捗状況はやや遅れている．そこで，科学研究費助成事業補助事業期間を延長することで，2022年度に達成できなかった研究計画を2023年度に実施していきたいと考えている．

Strategy for Future Research Activity

2022年度の研究実施計画で未達成だったものの研究遂行に尽力する．今までのところ，研究費を文献収集などのインプットと諸経費のためには利用しているが研究成果の発表などのアウトプットのために利用できてない．まず，学術論文誌への論文掲載という形で研究成果を公表したいと考えている．次に，2023年度開催される研究集会や学会などで研究成果の発表を行いたい．さらに，今まで行ってきた研究の展開として，時間非整数階偏微分方程式に対する均質化法とその周辺の話題などの研究も行い，本研究課題で扱っている逆問題を発展させていきたいと考えている．

Causes of Carryover

2022年度は，研究遂行に想定以上の時間がかかり当初の研究実施計画に沿って研究を遂行することが困難であった．また，コロナ渦における様々な制約に加え，研究以外の業務により多忙を極めたため，研究集会などでの口頭発表や研究打ち合わせの出張を行えなかった．そのため，次年度使用額が生じている．
2023年度は，情勢を鑑みながら，出張などの旅費に加え，新たな研究に必要となる図書などの研究資料の費用，その他の研究環境の整備に必要となるＰＣ周辺機器の費用や事務用品などの消耗品費にも助成金を利用したいと考えている．