2022 Fiscal Year Research-status Report
Studies on singular Hermitian metrics via L2 theoretic methods and their applications to algebraic geometry
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21K20336
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
稲山 貴大 東京理科大学, 理工学部数学科, 助教 (00907404)
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| Project Period (FY) |
2021-08-30 – 2024-03-31
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| Keywords | 特異エルミート計量 / L2評価 / L2拡張定理 / 大沢竹腰の拡張定理 / L2拡張指数 / 多重劣調和関数 / Griffiths正値性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主な目的は、HormanderのL2評価や大沢竹腰のL2拡張定理等のL2理論に基づいて、正則ベクトル束の特異エルミート計量を研究することにある。本年度は、L2拡張指数という概念を考案した。
大沢竹腰のL2拡張定理とは、局所ウェイトに多重劣調和関数を持つL2ノルムについて、部分多様体上定義された正則関数をL2ノルムの評価付きで全空間上の正則関数に拡張する定理である。L2ノルムの評価は時代とともに改良され、現在では最も良い形でL2評価ができることが知られている（最良L2拡張定理）。一方、逆にあるウェイトに関してこのような最良L2拡張定理が成り立てば、計量自身が多重劣調和関数になることも知られている。これは最良L2拡張性と呼ばれ、種々の応用を生み出してきた。つまり計量が多重劣調和関数であることと、L2評価が最良で出来ることが等価であることを言っている。
ところで、評価を計量に依存した形にすれば最良L2評価よりもっと良い評価が出来るという先行研究が、数名の専門家によって指摘され始めた。このL2評価はsharper estimateと呼ばれている。私はこの流れを受け、本研究でこの対応を定量化した。つまり、どれだけL2評価がsharpに出来るかということと、ウェイトの曲率がどれだけ正値であるかということに関係があることを見出した。また本研究では、この対応がある意味で最良なものであることも示すことが出来た。本研究は、冒頭で述べた特異エルミート計量の解析に新たな方向性を示すものだと考えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
L2拡張指数は特異エルミート計量の解析において新たな展開をもたらすものであり、更なる応用が期待できるため。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策は、以下の三点である：
（1）Prekopa型の定理にL2拡張指数を応用する。
（2）L2拡張指数を使って、多重調和関数の新たな特徴付けを与える。
（3）正則ベクトル束の特異エルミート計量に対し新たな正値性の概念を定義し、対応する乗数部分加群層が連接になるかどうかを調べる。
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| Causes of Carryover |
COVID-19の影響で，予定していた研究集会への参加が一部できなかった．次年度は，それらの研究集会をはじめとして，様々な研究集会に対面で参加するために，次年度使用額を使用する．それと同時に，対面での研究種会を開催することも考える．その他，研究に必要な物品等を購入する．
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