2022 Fiscal Year Annual Research Report
Scattering theory and continuum limits of discrete Schrodinger operators
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21K20337
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
只野 之英 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 助教 (90908427)
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| Project Period (FY) |
2021-08-30 – 2023-03-31
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| Keywords | 離散シュレディンガー作用素 / スペクトル・散乱理論 / 連続極限 / 量子グラフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
離散シュレディンガー作用素は結晶固体中の電子の挙動を記述する物理モデルであり，通常の量子力学(シュレディンガー作用素)では現れない特異な性質が多く知られている．一方，離散シュレディンガー作用素はシュレディンガー作用素の格子離散化からも導出されるため，2つの作用素に類似点があることが示唆される．本研究では，スペクトル・散乱理論の立場から離散シュレディンガー作用素の性質を明らかにすると同時に，本研究を通じてシュレディンガー 作用素との類似性および相違性も明らかにすることを目的としている．
研究期間全体を通じて，以下の研究成果および進展が得られた．
1．正方格子の場合に，量子グラフとよばれるシュレディンガー作用素の別の空間離散化に対する連続極限をスペクトル理論の立場から証明した．
2．三角格子や六角格子などの正方格子以外の一般の格子の場合に，離散シュレディンガー作用素の連続極限としてシュレディンガー作用素が得られることを証明した．より詳細に述べると，格子の形状，辺および辺上の重みといったグラフ構造に対応して定義される離散シュレディンガー作用素の連続極限を考えることができ，その収束先であるシュレディンガー作用素はグラフ構造によって異なることが示された．
上記2つの成果により，離散シュレディンガー作用素および量子グラフは格子幅を狭めることによって連続空間上のシュレディンガー作用素の良い近似になることを，固有関数，固有値，スペクトルの収束の観点で明らかにした．
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