2011 Fiscal Year Annual Research Report
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22244007
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
舟木 直久 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (60112174)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
樋口 保成 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (60112075)
俣野 博 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (40126165)
長田 博文 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (20177207)
乙部 厳己 信州大学, 理学部, 准教授 (30334882)
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| Keywords | 確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式論 / 応用数学 |
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| Research Abstract |
大規模相互作用系とは、巨視的に観測される様々な現象を微視的レベルから解析し理解するために導入される数理モデルの総称である。対象とする系は、一般に莫大な量の自由度を有する。以下、本年度の研究実績からいくつか具体的に述べる。
界面揺動を記述する Kardar-Parisi-Zhang(KPZ) 方程式の研究が注目を集めている。これは一種の確率偏微分方程式であるが、発散項を含み、数学的意味を与えることは難しい。しかし、その（形式）解のCole-Hopf 変換を考えると、乗法的ノイズを持つ線形確率熱方程式に帰着される。研究代表者の舟木は、このようにして得られる線形確率熱方程式について、幾何的ブラウン運動の分布が不変測度であることを示した。舟木は、フェロモンにより自己組織的に集成する生物の挙動を記述する巨視的な交差拡散モデルを提示し、対応する微視的レベルの個体運動モデルを考えた。特異極限と流体力学極限の手法により、巨視的描像と微視的描像のつながりを与えた。舟木は、空間的に非一様な物理量を保存量としてもつ粒子系の平衡状態についてアンサンブル同値を示した。これはランダムな2次元ヤング図形のスケール極限の解析において必要になる。
分担者の樋口は、2次元 Ising モデルのパーコレーションの高温域での無限クラスターの種と呼ばれるものの分布が存在する事を確かめた。
分担者の長田は、Airy点過程に付随する無限次元確率微分方程式の一意的強解の存在を証明した。
分担者の乙部は、線形および非斉次のガウス型雑音を伴う輸送方程式に対する順問題および係数決定の逆問題について、解の一意存在およびその表現公式を得たほか、収束の速度についての評価も得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ランダムな2次元ヤング図形、ランダム行列の固有値の時間発展モデル、パーコレーションモデル、界面モデルの解析は順調に進展している。さらに、生物モデルに対して大規模相互作用系の手法を適用することにおいても新たな知見が得られた。
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| Strategy for Future Research Activity |
界面の揺動を与えるKPZ方程式について相互作用粒子系の観点からの研究を開始する。ランダムな2次元ヤング図形、ランダム行列の固有値の時間発展モデル、パーコレーションモデルの解析は順調であるが、さらなる進展を図る。生物モデルについても、微視的（ミクロ）および中間的（メゾ）立場からのモデルを新たに構築し、巨視的（マクロ）視点へと繋ぐスケール変換を考察する予定である。
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