2012 Fiscal Year Annual Research Report
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22244007
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
舟木 直久 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (60112174)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
長田 博文 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (20177207)
乙部 厳己 信州大学, 理学部, 准教授 (30334882)
俣野 博 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (40126165)
樋口 保成 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (60112075)
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| Project Period (FY) |
2010-04-01 – 2014-03-31
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| Keywords | 確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式 / 応用数学 |
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| Research Abstract |
大規模相互作用系とは、巨視的に観測される様々な現象を微視的レベルから解析し理解するために導入される数理モデルの総称である。対象とする系は、一般に莫大な量の自由度を有する。以下、本年度の研究実績からいくつか具体的に述べる。研究は代表者と分担者の協力の下に進められているが、研究実績は研究者ごとに述べる。
代表者の舟木は、自己組織的に集成する生物の挙動を記述するミクロ・メゾ（微視的・中間的）系の範囲を広げることにより、流体力学極限の手法に基づいて得られるマクロ（巨視的）な交差拡散方程式のクラスの拡張を行った。また、界面揺動を記述するKardar-Parisi-Zhang 方程式に関する確率解析的研究を継続して行った。特に、Cole-Hopf変換が使えない多要素系についても、平衡解の研究を進める手がかりを得た。
分担者の俣野は、空間1次元非線形拡散方程式に現れる進行テラス解、空間非周期的な媒質中の進行波、退化した拡散方程式が生成する無限次元力学系、非線形拡散方程式の特異極限の下で現れる遷移層の形状などについて多方面からの研究を行った。
Ising モデルのパーコレーションを高温相で考えるとき、外部磁場の臨界値においてインシピエント無限クラスターの分布の極限が定義できるが、分担者の樋口はその分布に関する平均からの偏差についての情報を得た。
分担者の長田は、Airy点過程について逆温度βが1,2,4の場合に、平衡分布の準ギブス性を証明し、さらに対数微分を計算して無限次元確率微分方程式を解くことに成功した。
分担者の乙部は、無限次元空間上の安定雑音を伴う放物型の偏微分方程式への応用を目指して、無限次元空間上の独立同分布な確率変数の和の収束の問題についての研究を行った。特に、安定雑音の場合については、確率の末尾分布の漸近挙動と積率の和の収束による収束判定条件について、伊藤-西尾型の一般論には帰着できない場合についても証明が得られた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
生物モデルに関連した相互作用粒子系、パーコレーション、ランダム行列の固有値の時間発展を定める干渉ブラウン粒子系の研究は順調に進展している。Kardar-Parisi-Zhang 方程式の平衡解の研究は、繰り込み操作において極めて精緻な計算が必要になることが明らかになった。しかし、これについても解決の糸口をつかんでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
Kardar-Parisi-Zhang 方程式については、繰り込み操作においてつかんだ解決の糸口を発展させ、多要素系の研究を進める。保存則を持つ確率偏微分方程式を基礎にして、鋭敏界面極限を経て界面揺動の時間発展則を導く研究を開始する。また、大偏差原理により極限候補が複数ある場合の界面モデルの挙動の研究も進める予定である。
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