2013 Fiscal Year Annual Research Report
微分方程式論からみた生物のパターン形成―分析から総合へ
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22244010
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
高木 泉 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (40154744)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小川 卓克 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20224107)
池田 榮雄 富山大学, 理工学研究部, 教授 (60115128)
長澤 壯之 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70202223)
柳田 英二 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (80174548)
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| Project Period (FY) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 反応拡散系 / パターン形成 / 自己組織化 / 曲面の変形 / 界面の運動 |
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| Research Abstract |
今年度は理論的な面で様々な深化があった．研究代表者は，拡散性物質と非拡散性物質とからなる系の解の存在や漸近挙動に関する基礎的な研究を論文にまとめた．また，非均一な媒体中でのスパイク状パターン形成を研究し，スパイクの位置を特定するため「位置決め函数」を導入した．更に，自由境界問題に関するワークショップを開催し，パターン形成のダイナミクスに関する研究の最前線を概観した．
小川は，走化性によるパターン形成のモデル方程式を含む退化移流拡散方程式について，初期値の積分値とエントロピー汎函数の冪凸結合により弱解の大域的挙動が分類できることを明らかにした．池田は，空間二次元の一様媒体上での三成分 FitzHugh-Nagumo 方程式の定常パルス解を構成し，その安定性解析を行った．さらに，物理パラメータに関する分岐現象（サドルノード分岐，ドリフト分岐，ホップ分岐）が出現することを確認した．柳田は，無限次元力学系におけるホモクリニック軌道に対して到達可能という概念を導入し，到達可能でない場合があることを示した．また，空間的に孤立した解のω極限軌道が時間に依存するような例を構成した．
曲線の運動の研究として，長澤は，結び目理論で重要な空間内の閉曲線に対して定義されるメビウス・エネルギーが三つの成分に分解できることを明らかにし，その変分公式の導出を簡単化した．岡部は，平面曲線がエネルギー汎函数の勾配流として運動するときに，定常解に収束するための十分条件を与えた．
一方，連携研究者の上山は，腹足類動物の運動を，筋収縮の伝播パターンによって引き起されるものと捉え，そのモデルを構成した．腹足類に見られる粘液が摩擦制御に重要な役割を果たすことを確認した．山田は，ユークリッド空間，球面，双曲空間内の凸体の距離函数に関する幾何学に関して，変分的な構成を介したアプローチを提唱して新しい知見を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
厳密な解析的理論の構築という観点からは，多くのテーマで順調に進展している．しかし，反応拡散系によるパターン形成によって制御された曲面の変形運動という問題に関しては，研究が遅れ気味である．原因は，方程式系が放物型方程式と双曲型方程式が連立された形になり，非常に複雑なためと，シミュレーションも大掛かりになり，技術的に乗り越えなければならないことが多いためである．これを受けて，１１月には，分担者・連携研究者が集まり現状分析と今後の研究推進の方向性を多面的に検討した．また，ゼブラフィッシュの一次運動神経軸索配置に関する研究は，実験結果が示唆することが反応拡散系によるモデル化に適するかどうか疑問点が浮かび上がり，より精密な検証をする必要がでてきた．理論から予想されることと実験との比較が当初の想定以上に難しい場合があることが判明した．
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| Strategy for Future Research Activity |
最終年度であるため，これまでの研究を総括する研究集会を秋に開催する．
遅れ気味のテーマについては，最も一般の場合を取り扱うのではなく，典型的な具体例（つまりネマトステラの蠕動運動のモデル化）に焦点を合わせ，これまでの研究で得られた知見を総合的に適用して，明快な結論を導くことを目指す．特に，モデルの構成に関しては，実験家と生物物理学者，物性物理学者等を含む研究チームを結成し，物理学的に意味のある数理モデルをつくる．
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Research Products
(29 results)
