2012 Fiscal Year Annual Research Report
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22340035
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
辻井 正人 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (20251598)
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| Project Period (FY) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 力学系 / エルゴード理論 / アノソフ流 / 量子カオス / アノソフ微分同相 / 転送作用素 / 測地流 / カオス |
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| Research Abstract |
本年度の研究では、前年に引き続き前量子アノソフ写像に対応する転送作用素のスペクトル的な性質の研究を進めた．前年までの研究で基本的な評価とスペクトルの帯状構造を得られたが、本年度はそれらをもとにより精密な結果について研究を進めた．得られた結果は（1）帯状構造の各帯の中に含まれる離散固有値の数に対してのWeylの公式に対応する評価（2）相関の減衰についての無限個の共鳴項を含む精密な評価．（3）Gutzwiller-Vorosの跡公式に対応するAtiyah-Bott トレースの評価、などである．これらは前年度発表したプレプリントPrequantum transfer operator for symplectic Anosov diffeomorphism に付け加えることにした．
前量子アノソフ写像は負曲率多様体の測地流やより一般の接触アノソフ流のモデルと考えられる．その観点から本年度の後半は接触アノソフ流についての対応する結果を考察した．接触アノソフ流に付随する転送作用素のスペクトルについて、まず生成作用素が離散的なスペクトルを持つことを示し、さらにそれらが帯状の領域に含まれることを示した．実はこれらは以前から出来ることはわかっていたがきちんと証明をつけた．さらに各帯状領域に実際に無限個の固有値が含まれるという点については関数解析的に微妙な問題（固有値の個数の下からの評価）があり長い間証明することが出来なかったが、最終的に Sjostrand の手法を応用することで証明を与えた．
研究結果の発表については積極的に行った．特にEPFLでの研究プログラム"Hyperbolic dynamics, large deviations and fluctuations"に招待され、1ヶ月参加した．これは2013年4月に期間を延期した関係で本年度の研究費を繰り越すことで対応した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
F. Faure氏（フーリエ研究所）という研究上のパートナーに恵まれ、準古典解析の手法を駆使することで前量子アノソフ写像や負曲率多様体上の測地流の転送作用素の精密な解析について予想以上の成果を挙げている．特に、固有値の個数についての下からの評価が得られたことは長年の懸案に決着を付けたものである．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も現在の共同研究者であるF. Faure氏（フーリエ研究所）との研究を続けていく．また、可能な限り国内・国際の研究集会で発表し本研究の研究成果について発信する．特に、準古典解析についてはこれまで力学系の分野とはあまり関係がなかったために、これまで交流が少ないが、今回の研究をもとに交流を深めて、量子カオスなどの問題についての研究を進めたい．
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