| Research Abstract |
最も基本的な線形微分方程式を1パラメータ拡張した非線形微分方程式の解として,q-指数関数が得られる.q-指数関数exp-q(-x)は,その変数xの値が大きいとき(q>1),べき乗則を有し,q-指数関数による指数法則の一般化から,q-積が得られる.このq-積を用いると,ツァリスエントロピーが一意に定まる.一方,ツァリスエントロピーと非常に似た一般化エントロピーとしてレニーエントロピーが知られている。本研究において,系を観測する精度に対して,状態の数がべき乗則を有するとき,その状態の数の通常の対数をとったものがレニーエントロピーであり,q-対数をとったものがツァリスエントロピーであることを明らかにした.つまり,べき乗則あるいはスケール不変性を有するマルチフラクタルな系を独立な系に分割したときの次元がレニーエントロピーであり,q-積の意味で分割したときの次元がツァリスエントロピーであることがわかった.このことにより,マルチフラクタル,スケール不変性,ツァリスエントロピー,レニーエントロピー,q-積の関係が明らかになった.
一方,実際の現象として観測できるスケール不変性・長時間(距離)相関を調べるために,生物の進化モデルである自己組織化ネットワークやtwitterなどのフォローワー関係のネットワークを用いて,シミュレーションなどを行ったこれらネットワークに共通してみられるのは,スケール不変性のみならず,最も強固な頑健性を有するペースメーカーやsuper-stable nodeが存在することがわかった.しかも,双方向のリンクではなく,一方の矢印方向のみのリンクであり,符号木における根に対応することが明らかになってきた.
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