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2011 Fiscal Year Annual Research Report

連分数の解析的・代数的・組み合わせ論的研究

Research Project

Project/Area Number 22540005
Research InstitutionHirosaki University

Principal Investigator

小松 尚夫  弘前大学, 理工学研究科, 教授 (70300556)

Keywords連分数 / 整数論 / 組合せ論 / 代数学
Research Abstract

連分数の組合せ論的研究として、leaping convergentsの性質をHurwitz連分数とTasoev連分数について調べた。Hurwitz連分数については合流型超幾何極限関数の値の比で表される一般の連分数を考察し、その連分数の部分商の算術的数列を幾何的数列に対応させる形で新しいタイプのTasoev連分数を考案した。それぞれのleaping convergentsの性質を詳しく調べることで、具体的な値に対応する近似分数を正確に表すことができた。
連分数の代数的研究として、海外協力研究者のLaohakosol氏などと数論的関数の独立測度について調べた。これは、数論的関数の代数的独立性の規準を与えるもので、この独立性の測度に関する一般の質的結果を証明することにつながった。また同時に、形式的ディリクレ級数に関する対応する結果も証明できた。これらの実績は、1950年代のCarlitz、1960年代のPopken、1980年代のShapiroとSparerの結果を拡張するものである。
連分数の解析的研究として、フィボナッチ・ゼータ関数との関連で登場したフィボナッチ数の逆数和の値を考えた。フィボナッチ数に関する和は、4項関係式からなるトリボナッチ数に関する和の問題にも拡張でき、また一般フィボナッチ数の和に関する問題にも発展できた。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

連分数の組合せ論的研究についてはleaping convergentsの研究、代数的研究については数論的関数の代数的独立性に関する研究、解析的研究についてはフィボナッチ数やその拡張あるいは発展の数の逆数和に関する研究、とそれぞれの方向に研究を進めることができ、対応する成果が得られた。以上により、三方向の研究はそれぞれ進展していると言える。

Strategy for Future Research Activity

連分数の組合せ論的研究についてはleaping convergentsの研究を発展させ、より一般の連分数を対象に扱っていきたい。代数的研究については数論的関数の代数的独立性に関する研究の扱う関数の一般化と条件の緩和をはかっていきたい。解析的研究についてはより一般の項数からなる数について逆数和を研究していきたい。また、統合的研究を見据えて方向性の統合や横断を模索していく。また最近、ゼータ関数と関連するベルヌーイ数の類似として、コーシー数なるものに注目しており、その性質が徐々に解明されだしているので、数論的方面と組み合せ論的方面から研究していきたい。

  • Research Products

    (12 results)

All 2012 2011

All Journal Article (6 results) (of which Peer Reviewed: 6 results) Presentation (6 results) (of which Invited: 2 results)

  • [Journal Article] Independence measures of arithmetic functions2011

    • Author(s)
      Takao Komatsu, V. Laohakosol and P. Ruengsinsub
    • Journal Title

      J. Number Theory

      Volume: 131 Pages: 1-17

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On the sum of reciprocal generalized Fibonacci numbers2011

    • Author(s)
      T. Komatsu and S. H. Holliday
    • Journal Title

      Integers

      Volume: 11 Pages: 441-455

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On the sum of reciprocal Tribonacci numbers2011

    • Author(s)
      T. Komatsu
    • Journal Title

      Ars Combin.

      Volume: 98 Pages: 447-459

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On the nearest integer of the sum of the reciprocal Fibonacci numbers2011

    • Author(s)
      T. Komatsu
    • Journal Title

      Aportaciones Matematicas Investigacion

      Volume: 20 Pages: 171-184

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Leaping convergents of Hurwitz continued fractions2011

    • Author(s)
      T. Komatsu
    • Journal Title

      Discuss. Math. Gen. Algebra Appl.

      Volume: 31 Pages: 101-121

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Leaping convergents of Tasoev continued fractions2011

    • Author(s)
      T. Komatsu
    • Journal Title

      Discuss. Math. Gen. Algebra Appl.

      Volume: 31 Pages: 201-216

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] On poly-Cauchy numbers and polynomials2012

    • Author(s)
      T. Komatsu
    • Organizer
      International Number Theory Conference in memory of Alf van der Poorten, AM
    • Place of Presentation
      オーストラリア Noah's on the beach, Newcastle
    • Year and Date
      20120312-20120316
  • [Presentation] On poly-Cauchy numbers2012

    • Author(s)
      T. Komatsu
    • Organizer
      The 12th Korea-Japan Workshop on Algebra and Combinatorics
    • Place of Presentation
      韓国 POSTECH
    • Year and Date
      20120126-20120127
    • Invited
  • [Presentation] Poly-Cauchy numbers and Riordan Arrays2012

    • Author(s)
      T. Komatsu
    • Organizer
      Diophantine Analysis and related fields 2012
    • Place of Presentation
      新潟大学「ときめいと」キャンパス
    • Year and Date
      20120109-20120110
  • [Presentation] Poly-Cauchy numbers2011

    • Author(s)
      T. Komatsu
    • Organizer
      解析的整数論研究集会
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所
    • Year and Date
      20111031-20111102
  • [Presentation] Diophantine approximations of Hurwitz and Tasoev continued fractions2011

    • Author(s)
      T. Komatsu
    • Organizer
      International Skorobohat'ko Mathematical Conference
    • Place of Presentation
      ウクライナ Ivan Franko Pedagogical University of Drohobych
    • Year and Date
      20110919-20110923
  • [Presentation] Leaping convergents of Tasoev continued fractions2011

    • Author(s)
      T. Komatsu
    • Organizer
      DIMACOS11-FSTM, International Conference on Discrete Mathematics & Computer Sciences
    • Place of Presentation
      モロッコ ハッサン第2大学
    • Year and Date
      20110505-20110508
    • Invited

URL: 

Published: 2014-07-24  

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