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2011 Fiscal Year Annual Research Report

混合楕円モチーフの研究

Research Project

Project/Area Number 22540008
Research InstitutionUniversity of Tsukuba

Principal Investigator

木村 健一郎  筑波大学, 数理物質系, 講師 (50292496)

Keywordsモチーフ
Research Abstract

今年度は、Bloch-Krizの混合TateモチーフのHodge実現について研究した。Bloch-Krizは、代数的サイクルを使ってある次数付き微分代数を構成し、それからbar構成によりある可換なHopf代数Hを定義した。彼等による混合Tateモチーフの圏は、H上の余加群の圏と定義される。Hodge実現は、Hopf代数Hに付随する混合TateHodge構造で、H-余加群の構造を持つものの構成に帰着されることがわかる。Bloch-Krizは抽象的な方法でそれを構成し、さらにそれが位相チェイン上の微分形式の積分(周期積分)を使って記述できることを主張している。しかしその証明には明らかな誤りがある。また記述のしかたも全く不十分である。寺杣友秀氏、花村昌樹氏と共同で、周期積分を使った具体的なHodge実現関手の構成に取り組んできた。今までにわかったことは、ある位相チェインの複体Cで、いくつかの性質を持つものが必要(かつ十分)だということである。性質のうち主なものは次の通り:1.Cは代数的サイクルを含む。2.Cは余次元1の"face"への制限写像を持つ。3.Cの元上、0と無限大に極を持つある微分形式ωの積分は収束し、かつfaceへの制限に対しCauchyの積分公式が成り立つ。4.Cは正しいホモロジー群を持つ。様々な試みの結果、Cとしては、semialgabraic setというものから作られるものを考えるのが自然であることが分かった。Semialgebraic setは、実係数の多項式で定義される有限個の等式と不等式で定義される集合で、さらにそのような集合の有限個の和集合を含むようなものである。Cの内、faceと正しく(properに)交わるものを考える。さらに正確には、そのようなsemialgebraic setを基底とするQ-ベクトル空間の、currentの空間への像を考える。これに対し、性質1と2は自動的に満たされる。性質3のうち、積分の収束については成り立つことが最近分かった。現在性質3の後半と性質4の証明を行っている。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

本来は混合楕円モチーフのHodge実現を研究するはずであったが、その前段階の混合Tateモチーフの研究を行っている。

Strategy for Future Research Activity

混合Tateモチーフについては、そのHodge実現の構成は詰めに入っている。それを早く完成させ、混合楕円モチーフのHodge実現の構成に入る。

  • Research Products

    (3 results)

All 2012 2011

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (2 results)

  • [Journal Article] Motivic zeta functions in additive monoidal categories2012

    • Author(s)
      K.Kimura, S.Kimura, N.Takahashi
    • Journal Title

      Journal of K-theory

      Volume: (To appear) Pages: 1-15

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Hodge realization of mixed Tate motives via period integral2012

    • Author(s)
      木村健一郎
    • Organizer
      代数幾何とモチーフ理論ワークショップ
    • Place of Presentation
      東北大学(仙台市)(招待講演)
    • Year and Date
      2012-03-08
  • [Presentation] Hodge realization of mixed Tate motives2011

    • Author(s)
      木村健一郎
    • Organizer
      玉原特殊多様体研究集会
    • Place of Presentation
      東京大学玉原セミナーハウス(沼田市)(招待講演)
    • Year and Date
      2011-09-06

URL: 

Published: 2013-06-26  

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