2011 Fiscal Year Annual Research Report
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22540009
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
木村 達雄 筑波大学, 数理物質系, 教授 (30022726)
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| Keywords | 概均質ベクトル空間 / 分類 |
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| Research Abstract |
研究実施計画に記載された佐藤-森変換の詳しい研究については、ほぼ予定通りに完成することが出来た。これは自明な概均質ベクトル空間に現れる自然数nの大きさによりCaselnが十分大、Case2nが中くらい、Case3nが十分小、と別れ、Case1は佐藤幹夫により解決され、Case2は森重文と寺西靖男によりある多様体との同値性が示されていたが、今回Case2で別のベクトル空間との概均質同値性を示すことが出来た。これは3単純概均質ベクトル空間の分類で使われた木村-上田-吉垣の変換の一般化であり、木村・黒澤・柴田の論文として発表された。Case3は群がrank=rのm×n行列全体に作用するとき、稠密な軌道を持つための必要十分条件をあるベクトル空間の概均質性で与えたものでAMSのProceedingに出版される予定である。
研究の本来の目標である簡約可能概均質ベクトル空間の分類は極めて難しい問題であるが、佐藤幹夫による考え方での分類方法で、佐藤幹夫の結果をかなり進めることが出来て、これは木村・石井・柳・濱田・黒澤・大内・神吉の論文としてPub1.RIMS(京都大学)から発表された。
既約概均質ベクトル空間は、被約なものから裏返し変換を何回か施して得られることがわかっているが、被約なものには群がG×GL(n)(n=2,3)という形のものが多い。そこでこの形の群で既約でない一般の場合を分類することも意味があると思われるので、この場合の研究をしたが、この場合でも自明な概均質ベクトル空間が関係するところが極めて難しく、結局分離型という条件をつけて完成することが出来た。
この結果は木村・竹田・神吉・大内・濱田・大津の論文として発表された。
既約成分が2個の場合の分類は笠井伸一が非自明概均質ベクトル空間が関係する場合を完成させたが、自明な概均質ベクトル空間が関係する場合は何をして良いかわからない状態であった。研究代表者は大学院生の黒澤恵光と研究を進めたが、完成には至らなかった。しかし3単純2既約概均質ベクトル空間の分類は黒澤が完成し、彼の学位論文で発表されている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
色々多くの結果が得られてはいるが、自明な概均質ベクトル空間と呼ばれている空間が関連する分類は本質的な難しさがあり、何かまったく新しいアイデアが必要と思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
自明な概均質ベクトル空間が関連する分類に挑戦するが、何か新しいアイデアが得られないと成果が得られない可能性があるので、それと並行して着実な研究を進める。ひとつは有限個の軌道を持つ簡約可能概均質ベクトル空間で普遍推移性をもつものの分類で、ガロアコホモロジーを用いる。これは柳と研究する。共同もうひとつはクイバーの概均質ベクトル空間を対応する加群の観点で分類するという試みを名倉誠や石井佑来美と共同で研究する予定である。
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