2010 Fiscal Year Annual Research Report
幾何結晶上のトロピカルR写像の構成と結晶基底への応用
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22540031
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
中島 俊樹 上智大学, 理工学部, 教授 (60243193)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
篠田 健一 上智大学, 理工学部, 教授 (20053712)
都築 正男 上智大学, 理工学部, 准教授 (80296946)
五味 靖 上智大学, 理工学部, 講師 (50276515)
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| Keywords | 幾何結晶 / 冪単結晶 / 結晶基底 / イプシロン系 / トロピカルRマップ / 多面体表示 / 単項式表示 / picture |
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| Research Abstract |
イプシロン系の特徴付けと具体的な構成、また幾何結晶に対応するトロピカルR写像に深い関係が、あると思われる飾り付き幾何結晶、2重ブリューワーセルと一般化された行列式などについて考察を行い少なくともA型の場合には、結晶基底の単項式表示と興味深い関係があることを見出した。
ここで、飾り付き幾何結晶は双冪単結晶から誘導される幾何結晶の一種で超離散化により結晶基底の多面体表示と類似の表示を持つことが知られている。この研究においては現在、古典群の場合について数多くの具体的な例を用いて計算を実行し、そこから一定の結果と更なる予想を得ている。計算自体は古典的な行列の計算が中心となるが、そこに結晶基底の単項式表示が現れ、このことはこうした研究に新しいアプローチの方向を与えるものではないかと考えている。また、この方面は2重ブリューワーセルと一般化された行列式とクラスター代数の関係などが注目を集めており、この結果や予想がそうしたものと関連を持つことが期待される。上の計算などは古典型についてのみであるが、結晶基底の多面体表示や単項式表示、クラスター代数などは一般のカッツムーディー代数の設定まで想定されているので、そこまでの拡張も期待したい。
また、pictureと呼ばれる組合せ論的対象と結晶基底の理論で重要なLittlewood-Richardson結晶との具体的な1対1対応について具体的に構成することに成功した。これにより、pictureという対象を一般の古典群、さらには一般のカッツムーディー代数の設定にまで拡張できる可能性を提示した。
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