2012 Fiscal Year Annual Research Report
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22540033
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
都築 正男 上智大学, 理工学部, 准教授 (80296946)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
角皆 宏 上智大学, 理工学部, 准教授 (20267412)
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| Project Period (FY) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | 相対跡公式 / 中心Ｌ値 / 新谷関数 / グリーン関数 |
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| Research Abstract |
一般総実代数体に関するヒルベルトカスプ正則保型形式の２次拡大体への基底変換標準Ｌ関数の中心特殊値のスペクトル平均（重さ付１次モーメント）に関して、杉山真吾（阪大博士課程在学）との共同研究を行い、明示的な相対跡公式を構成した。さらに、その応用として次の２つの定理を証明した：
（１）保型表現のコンダクターの増大に伴う佐竹パラメーターの中心Ｌ値加重付き一様分布定理
（２）２次拡大への基底変換標準Ｌ関数の中心値に対する、無限素点でのパラメーター（保型形式の重さ）に関する明示的な劣凸評価式
（１）に関しては、Ramakrishnan-Rogawski, Feigon-Whitehouseによる先行研究があるが、いずれも保型表現のコンダクターが平方因子を持たず、しかも基底変換する２次拡大が総虚である場合に限定されていたが、我々の研究でそれらの仮定を排除し、より一般的な状況で通用する結果が得られた。（２）に関しては、すでにMichel-Venkateshによって、劣凸評価の存在自体は一般的に確立されているが、我々の研究では方法論が従来と異なって相対跡公式の局所項の詳しい計算を利用している点や、我々の評価式は重さに関して明示的な劣凸冪指数を提示しているという点でも新しい知見を与えるものと期待している。上述の成果は英文の学術論文として完成済みで、現在はその発表に向け投稿先を検討中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
既に一般総実代数体上GL(2)の保型表現に関しては、計画申請当初の目的は８割方達成されている（重さの小さい正則保型形式に関しては依然問題は残される。）現状は、これまでに蓄積した方法論によって大きい離散系列を生成するジーゲル保型形式に対して申請計画で述べた研究に取りかかれる段階にあり、計画は予定通りおおむね順調に進んでいるといえる。今年度の計画では、直交群のＬ関数の中心値に対して研究を進めるはずであったが、むしろGL(2)の標準Ｌ関数の場合に完全な形で研究を完結させ、それを今後のモデルケースとしたほうが将来的にも益するところが大きいと判断し計画変更を行ったことをここに付記しておく。
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| Strategy for Future Research Activity |
２５年度は、正則ヒルベルトカスプ形式の標準Ｌ関数の中心値とその２次ひねりの１階導分中心値の積のヘッケ固有値付きスペクトル平均を研究する。このケースを扱うには２４年度までに申請者が開発してきた方法の微修正で基本的には対応可能と思っている。杉山氏と引き続き共同研究を継続する。我々の手法は正則ヒルベルト保型形式の２次対称積Ｌ関数の中心値のスペクトル平均を与える相対跡公式を明示的に計算するのにも有効であろうと期待している。Jacquet-Zagierによる先行研究があるが、彼らの結果はある種の解析数論的な応用には不十分である。globalには新谷卓朗による平滑化アイゼンシュタイン級数の一つの変種を活用すること、local にはp-進体上でのGreen関数の導入が我々の方法の要である。別の方向からは、大きい離散系列を生成するジーゲル保型形式に対して、準備的な研究に取り掛かる。具体的には、森山知則（大阪大学）による一般化Whittaker関数の研究を詳しく分析し、ポアンカレ級数の構成しそのスペクトル展開などを調べる。
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