2010 Fiscal Year Annual Research Report
岩澤p進対数に基づくp進アーベル積分の解明とabc予想型ディオファントス不等式
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22540034
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
平田 典子 (河野 典子) 日本大学, 理工学部, 教授 (90215195)
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| Keywords | ディオファントス近似 / 岩澤の対数関数 / 楕円曲線 / abc予想 / 対数一次形式 / p進アーベル積分 / 楕円対数 / 楕円対数 |
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| Research Abstract |
岩澤p進対数関数は通常の局所的なp進対数関数と異なり、解析的に良い性質を持つ.すなわちp進体の代数閉包の完備化である全平面において定義されている,この事実に着目して、岩澤p進対数関数の楕円関数上のアナロジーを構築し、それを用いてp進楕円対数の一次形式の下からのディオファントス近似評価を与えるということが今回の課題の目標であった.p進楕円関数もp進楕円対数関数も局所的な関数であるが、実際には楕円でない場合のp進対数関数の場合と異なり、p進楕円対数関数のもつ代数的な性質が良くなかったため、岩澤p進対数関数の持つ非常に良い性質の楕円版は得られなかったが、最終的な課題である2個のp進楕円対数の一次形式のディオファントス近似の下からの評価については、一次形式の係数である代数的数の高さに関する最良の評価を得ることが出来た,これが高田里奈氏との共著としてKyushu Journal of Mathematicsに出版されたLinear forms in two elliptic logarithms in the p-adic caseの主結果である.これにより、先行結果であったJournal of Number Theory 57巻(1996年)133-169に出版されたG.RemondとF.Urfelsの評価を改良して最良評価に達することが出来たことになる.しかしながら評価の定数部分が大きくなってしまったので、定数の改良も行うことが今後の課題である,なお、代数体上で定義された楕円曲線のS整数点はC.L.Siegelの定理より有限個であることが分かっており、その全ての座標を計算することはS.Langらの論法を用いれば可能であるが、上記の仕事はそのための具体的な評価不等式を与えたことに相当する.
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