2010 Fiscal Year Annual Research Report
周期積分とミラー対称性およびグロモフ・ウイッテン不変量の幾何学
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22540041
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
細野 忍 東京大学, 大学院・数理科学研究科, 准教授 (60212198)
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| Keywords | カラビ・ヤウ多体 / ミラー対称性 / トーリック多様体 / 周期積分 / グロモフ・ウィッテン不変量 / 超幾何微分方程式 |
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| Research Abstract |
本年度は,高い種数のグロモフ・ウィッテン不変量を決定する正則アノマリー方程式について,その数学的構造の解明を研究の主眼とした.具体例の構成から手掛けた所,特にミラー対称性の視点から注目すべき性質を備えたカラビ・多様体の例を見つけることが出来た.正則アノマリー方程式の解を構成しグロモフ・ウィッテン不変量を決定する一方で,高木寛通氏と共に構成に関わる代数幾何学を調べた.結果,見つけた例は射影幾何学でReye congruenceとして古典的に知られているものの一般化であることが判明し,さらに射影双対と導来同値との不思議な関係を示唆する例となっていることも判明した.
ミラー対称性と導来圏との密接な関係は,ミラー対称性の幾何学を理解する一つの大切な手がかりとなることが知られている.上の例では(一般化された)Reye congruenceに関わって,互いに導来同値と予想される異なる二つのカラビ・ヤウ多様体が現れる.構成は射影双対に基づいており,導来同値であることと射影双対との間の理論的な関係を示唆する興味深い事例となっている.
さらに,グロモフ・ウィッテン不変量は,Donaldson-Thomas不変量などの導来圏の幾何学に基づいて得られる不変量と一致することが予想されており,具体的に決定された不変量の解析から,これらの不変量の幾何学やミラー対称性の幾何学について有益な示唆が得られるものと期待される.
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