2012 Fiscal Year Annual Research Report
| Project/Area Number |
22540072
|
|---|
| Research Institution | Niigata University |
|---|
Principal Investigator |
印南 信宏 新潟大学, 自然科学系, 教授 (20160145)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2010-04-01 – 2015-03-31
|
| Keywords | リーマン幾何学 / サブエルゴード性 / トポノゴフの比較定理 / 距離関数の差 |
|---|
| Research Abstract |
本年度の研究目的は、リーマン幾何学、物体の表面などのような境界付きリーマン多様体を貼り合わせてできる多様体やアレキサンドルフ幾何学で発展してきた方法を用いて測地線の幾何学を研究することであった。本年度の成果は以下の通りである。
回転トーラスの測地円の漸近的挙動についての混合性的な性質の研究とサブエルゴード的な性質についての研究成果をまとめ発表した。これらは、測地流の研究として、従来は単位接球上の性質として扱われ、その際は、負曲率あるいはそれに相当する条件の下で研究されていたが、底空間の性質として捉えることで、より一般的な空間の性質として記述することができた。新しいのはこの点である。
放射曲率を用いたトポノゴフの比較定理を完成させ、その応用として、放射曲率を用いた新しい球面定理の証明に成功した。トポノゴフの比較定理は、従来、比較三角形との間の対応する角の大小関係やアレキサンドルフの凸性で述べられる。この性質を参照回転面上の参照曲線と最短線の位置関係で記述した。従来の球面定理では、直径の端点が他の臨界点であることが重要であったが、この性質によらない新しいタイプの条件を見出した。
ボロノイ分割を与える境界線は、２点までの等距離集合（二等分線）である。このためボロノイ分割の研究には二等分線を研究することが必須である。二等分線を調べるために、２点までの距離関数の差と曲面の幾何構造について研究した。モース理論的な議論がうまく適用でき、距離関数の差のレベル集合の変化とオイラー数の関係について興味ある発見をした。来年度は、この研究を継続し、ボロノイ分割や高次元の場合のについての研究を進展させたい。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
問題の提起が途切れない。また，順調に解決して成果が出ている。
|
| Strategy for Future Research Activity |
回転トーラスの測地流は，底多様体上で位相的な混合性を持つことを示せたが，どの程度一般の場合にも同じ性質が成り立つか研究する。エバラインらによって成果が出ているビジビリティ公理を満たす共役点を持たない空間の測地流の混合性の研究を参考にする。
曲面上の最短ネットワーク問題を考えるとき，曲面のボロノイ分割が重要な役割を果たすようになると予想される。ボロノイ分割に使われる境界線は，2点の二等分線で，曲面上の二等分線の様子はわかったので、ルービンシュタインらの先行研究を参考にしながら、多数点までの距離関数の最小値関数の研究を開始する。
|
