2010 Fiscal Year Annual Research Report
有理ホモロジー球面の摂動的不変量の解析的、幾何学的性質の研究
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22540073
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
高田 敏恵 九州大学, 大学院・数理学研究院, 准教授 (40253398)
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| Keywords | 3次元多様体 / LMO不変量 / weight system / free energy |
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| Research Abstract |
GaroufalidisとLeによって、有理ホモロジー球面のSU(N) free energyの任意の種数に対する項が原点の周りにおいて解析的であることを示され、更に、レンズ空間のSU(N) free energyの明確な公式が与えられた。以前の研究で、レンズ空間に対するSO(N)およびSp(N) free energyの明確な公式を与え、原点の周りでの解析性を示した。しかし、他の多様体についての明確な公式はなく、解析性をもつ領域など解析的性質の詳しい情報は知られていない。
今年度の研究では、ザイフェルトホモロジー球面のSU(N) free energyの公式について研究を行った。Bar-NatanとLawrenceによって、ザイフェルトホモロジー球面のLMO不変量の公式が与えられ、それは自明な結び目のkontsevich不変量Ω(wheelと呼ばれる1つのループに偶数本の辺がついているopen Jacobi図の無限和)をもちいてあらわされ、wheelにSU(N)に付随するweight systemを適用することによって摂動的不変量がえられる。よってwheelについての計算が、ザイフェルトホモロジー球面に対する明確なfree energyの公式を求める鍵となる。本研究では、SU(N) weight systemの組み合わせ的計算法を利用することによって、free energyの種数が0に対する項について考察を行った。特に、LMO不変量において任意次数のwheelが一つの項の種数が0の項への寄与について公式を得た。また、次数が低い2つwheelsの項の種数が0の項への寄与の具体的計算を実行した。
また、絡み目のDehn手術によってえられる3次元多様体の摂動的不変量は、その絡み目のKontsvich不変量にLie環に付随したweight systemを適用したもののGauss積分によって得られることに着目し2成分トーラス絡み目のKontsevich不変量にSU(N)、SO(N) weight system, vector表現を適用したときの不変量の振る舞いについて考察し、予想されていた関係式を示した。
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