| Research Abstract |
多様体上の与えられた幾何構造を保つ微分同相写像の成す群の位相的・代数的性質の解明は,幾何学の研究において重要なテーマの1つである。本研究では,非コンパクトC^∞多様体Mの微分同相群D(M)や体積形式wを保つ微分同相写像の成す群D(M;w)のコンパクト-開C^∞位相の下での位相的性質に関して考察した。Mのエンドに向かう体積の移動のデータを微分同相写像で実現する問題を考察し,まず,体積形式に関するMoserの定理のパラメータ版を非コンパクト多様体の場合へ拡張した。さらに,Alpern-Prasadのエンドチャージ準同型が連続なセクションを持つ事を示した.この応用として,単位連結成分について,群D(M)_0が部分群D(M;w)_0に,さらにD(M;w)_0がエンドチャージ準同型の核に,それぞれ強変形レトラクトする事がわかった。さらに,2次元多様体の場合に,群D(M)_0,D(M;w)_0及びコンパクト台を持つ微分同相の成す部分群D^c(M)_0,D^c(M;w)_0のホモトピー型の分類についても結果が得られている。一方,Whitney(C^∞)位相の下での,(微分)同相群や位相群への連続写像の成す空間の位相的性質の研究を連携研究者酒井・嶺・Banakh氏と進め,(自明な例外を除いて)非コンパクト局所コンパクト可分距離空間Xから可分完備ANR位相群Gへの連続写像全体の成す空1間C(X,G)とコンパクト台を持つ連続写像の成す部分空間C_c(X,G)の組(C(X,G),C_c(X,G))が1_2の加算box積・small box積の組と局所同相になる事を示した。さらに,非コンパクトC^∞多様体Mに対して組(D(M),D^C(M))も同様の性質を持つ事を示した。これらの結果に関しては,国際会議,国内の学会・シンポジウム等において積極的に発表を行った。
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