2012 Fiscal Year Annual Research Report
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22540091
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
神山 靖彦 琉球大学, 理学部, 教授 (10244287)
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| Project Period (FY) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | ロボット運動 / 位相的複雑さ / クモの巣装置 / 正二面体群 / 表現空間 / レフシェッツの不動点公式 / 多角形のモジュライ空間 / ユークリッド体積 |
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| Research Abstract |
与えられたロボットの姿勢をどの程度連続的に変えることができるかを有効に記述する幾何学的量として位相的複雑さがある。この量は自然数に値をとるので非常に簡潔である反面、実際に計算することは極めて困難である。本年度はロボットとしてクモの巣装置を考えた。ここでクモの巣装置とは、正多角形の頂点ごとにパワーショベルの腕の一端を接合し、もう一端は全て接合することにより得られる平面ロボットである。本年度の主な研究成果は次の1, 2である。 1. クモの巣装置がどの程度対称であるかを正確に記述することに成功した。正二面体群の正多角形への作用は、クモの巣装置の配置空間への作用を引き起こす。これにより配置空間のホモロジー群は正二面体群の表現空間となる。本年度の目標の一つは、この表現を既約表現を用いて記述することであった。レフシェッツの不動点公式が非常に有効であるという事実を発見し、問題を簡明に解決することができた。 2. クモの巣装置の配置空間の正二面体群作用による商空間も、装置の対称性を測る上で重要である。商空間の整係数ホモロジー群を過去に10角形まで計算したが、不思議なことにホモロジーにトーションは生じなかった。本年度の補助金でコンピュータ及びMapleという計算ソフトを購入し、具体例の計算を続けた。その結果、角数が多くなると確かにホモロジーにトーションが生じることが分かった。実験結果から規則を読み取り、最終的には一般公式を手計算で証明することに成功した。 3. 上記のコンピュータ計算には思わぬ副産物があった。有名なロボットとして、上記のクモの巣装置の他に多角形のモジュライ空間がある。多角形のモジュライ空間のユークリッド体積は従来考察されたことがなかった。複雑な多重積分のため、明確な公式を与えることは不可能だからである。Mapleソフトにより、6角形以下の場合に数値計算に成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ロボット運動を精密に記述する量として位相的複雑さがある。これは自然数に値をとるので非常に簡潔である反面、実際の計算は極めて難しい。本研究の目的は、ロボットとして多角形のモジュライ空間とクモの巣装置を考えた場合に、位相的複雑さについての情報を得ることである。以下のように多角形のモジュライ空間、クモの巣装置それぞれについて数編ずつの論文を発表しているので、課題はおおむね順調に進展している。 1. 多様体上の最も効率のよいMorse関数をパーフェクトなMorse関数という。与えられた多様体上にパーフェクトなMorse関数を構成することは極めて難しい。多角形のモジュライ空間上に、パーフェクトなモース関数を構成することに成功した。その際に問題となるのは、多角形のモジュライ空間が単連結でないことである。そこで普遍被覆空間のホモロジー群も決定した。この方面での論文は計4編である。 2. 一般に図形の対称性を測るために、群を作用させて情報を得る方法がある。クモの巣装置に群を作用させるとき、ホモロジー群を既約表現で記述するという問題がある。レフシェッツの不動点公式を用いることにより、この問題を簡明に解決した。更に群作用による商空間のホモロジー群も決定した。この方面での論文は計3編である。 3. コンピュータを使った実験数学の研究も行った。微分幾何学で最も美しいといわれる定理にガウス・ボンネの定理がある。これは曲面上でガウス曲率を積分すると、曲面のオイラー数になるというものである。この積分を種数が2以上の場合に数値計算した例はない。困難な理由は、閉曲面の定義方程式を明確に与えることができなかったからである。懸案の方程式の記述に成功し、ガウス・ボンネの定理を実際に検証することができた。この記述はMathSciNetでも興味深いと評価された。この方面での論文は計2編である。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題の中心的題材は、多角形のモジュライ空間とクモの巣装置である。現在までの達成度の所で述べたように、それぞれについて研究は順調に進んでいる。一方、研究手法や結果は独立であり、共通した取り扱いができることが望ましい。つまり、多角形のモジュライ空間とクモの巣装置の両方を例として含むロボットを構成できれば、種々の議論を統一的に行うことができるようになる。今後の目標は、このロボットの構成である。少なくともオイラー数は決定したい。一つのアイデアは、Bott-Morse関数を構成することである。しかし、関数が構成できたとしても、その指数の計算は非常に難しいと思われる。多角形のモジュライ空間の場合でさえ、従来考察されなかった関数だからである。関数の指数は、まずコンピュータにより具体例を計算したい。そのために必要に応じて購入済みの計算ソフトを活用したり、専門家に相談する予定である。具体例から規則が読み取れたら、次いで数学的に証明する必要があるが、研究代表者は過去にMorse関数に関する論文を数編出版しているので可能なはずである。従来のロボットを統一的に扱うという重要な題材なので、結果が揃った段階で速やかに論文を作成し、投稿したい。 もう一つ取り組みたい問題は、多角形のモジュライ空間の中間次元のホモロジー類の問題である。多角形のモジュライ空間はトーラスの部分空間で、そのほとんどのホモロジー類はトーラスのそれを見れば分かる。しかし、次元の半分のホモロジー類にはトーラスから来ないものがあり、この挙動がここ20年ほどの世界的な懸案である。このホモロジー類には対合が作用するが、この単因子を決定することに挑戦してみたい。この場合も、まずコンピュータも活用して具体例を計算したい。もし成功すれば非常に注目されるはずなので、いち早く論文に纏めて公表したい。
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