2013 Fiscal Year Annual Research Report
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22540092
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
相馬 輝彦 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (50154688)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
大鹿 健一 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (70183225)
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| Project Period (FY) |
2010-04-01 – 2014-03-31
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| Keywords | クライン群 / 双曲幾何学 / 幾何構造 / Smale 予想 / 微分同相群 |
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| Research Abstract |
本研究課題である幾何的に有限なクライン群の幾何的極限の分類は，大鹿健一氏（大阪大学教授）との共同研究で，完全に解決した．特に，幾何的極限クライン群による3次元双曲空間の商空間である双曲多様体の位相型が全て明らかになった．一般にこのような幾何的無限多様体は，有限個の幾何的有限エンド，無限個の幾何的無限テーム・エンド，無限個のワイルド・エンドを同時に持ち得ることが分かった．しかし，このような複雑さにもかかわらず，幾何的有限なクライン群を実現する多様体の中に，幾何的極限クライン群を位相的に埋め込めることも証明できた．さらに，Minsky のエンディング・ラミネーション定理も対応する剛性定理が，幾何的極限多様体でも成立することが分かった．
この研究で得られた双曲幾何的手法を用いて，幾何構造を持つ3次元閉多様体に関する Smale 予想へのアプローチが可能なことが分かった．特に，双曲軌道面を底空間として持つ Seifert 多様体に関して，Smale 予想が成り立つことが証明できた．すなわち，このような多様体の等長群の恒等成分のホモトピー型と，微分同相群の恒等成分のホモトピー型が一致することが分かった．微分同相群は無限次元多様体であるので，構造を調べるのには困難がともなう．しかし，上記の多様体に関するSmale 予想の解決により，微分同相群のホモトピー型だけでなく位相型も決定することができた．この手法をさらに一般化して，infranil 構造を持つ3次元多様体に関する Smale 予想を解決することが今後の目標である．
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| Current Status of Research Progress |
Reason
25年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
25年度が最終年度であるため、記入しない。
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