2012 Fiscal Year Annual Research Report
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22540096
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| Research Institution | Tsuda College |
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Principal Investigator |
福原 真二 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (20011687)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
宮澤 治子 津田塾大学, 付置研究所, 研究員 (40266276)
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| Project Period (FY) |
2010-04-01 – 2014-03-31
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| Keywords | 保型形式 / デデキント和 / 結び目 / 不変量 / 周期多項式 / 局所変形 |
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| Research Abstract |
研究代表者は、今年度１編の論文を出版し、もう１編は雑誌に投稿中である。出版されたものは「A basis for S_k(Gamma_0(4)) and representations of integers as sums of squares, Ramanujan J., 28 (2012), 25-43」であり、代表者とYifan Yang (National Chiao Tung University, Taiwan) との共著である。この中で、尖点形式のなす空間 S_k(Gamma_0(4)) の基底が、２種類のアイゼンシュタイン級数の積の線形和として与えられている。応用としてテータ級数の４の倍数乗をアイゼンシュタイン級数を用いて表す公式が得られる。ここからフーリエ係数を比較して、整数を4k個の整数の平方の和で表す方法の数に関する明示式を得ることができる。Imamoglu-Kohnenの結果を一段と精密化したことになる。
当然の疑問として、整数を2k個の整数の平方の和で表す方法の数に関する明示式が問題になるが、これに関しては現在投稿中のYifan Yangとの共著論文「Bases for S_k(Gamma_1(4)) and formulas for even powers of the Jacobi theta function」で扱っている。空間S_k(Gamma_1(4))の基底は空間S_k(Gamma_0(4))の基底よりさらに複雑になるが、アイゼンシュタイン級数を用いて表すことができる。その結果として、整数を2k個の整数の平方の和で表す方法の数に関する公式を得ることができる。研究分担者は、Brunnian
linkに特徴的な性質に焦点を当てながら、バシリエフ不変量と局所変形の関係に関する研究を続けている。成果は研究所にて口頭発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度は、福島原子力発電所の事故の影響で、共同研究が中止になったが、今年度は再開することができた。その結果、共同研究者の Yifan Yang と議論する場を持て、またrepresentations of integers as sums of squares の問題に対して共著論文を書き上げることができた。従って、当初の研究目的はほぼ達成できたと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
代表者は、楕円デデキント和の研究も引き続き進める予定である。最近、Yu. Manin が非可換デデキント和の研究結果を発表したが、代表者も彼の定式化の優れている点を吸収し自分の理論に生かしていきたい。また、デデキント和を更に一般化した概念である pseudo Dedekind symbol に関しても試行的研究を進めたい。海外の研究者と活発に交流しながら、同時に独自の視点も大切にしていくつもりである。
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