微分方程式と幾何構造の関係に関するツイスター理論による解明

2012 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 22540109
• Research Institution: Numazu National College of Technology
• Principal Investigator: 待田 芳徳 沼津工業高等専門学校, 教養科, 教授 (90141895)
• Project Period (FY): 2010-04-01 – 2014-03-31
• Keywords: ツイスター理論 / 超幾何積分 / ガウス・マニン接続 / D_4型旗多様体 / 共形3対性 / 次数つきリー代数表現 / 重みつき微分方程式

Research Abstract

（１）超幾何積分とガウス・マニン接続：複数個の一般次数の1変数多項式のべきの超幾何積分に関してガウス・マニン接続を構成した．その平坦な接続形式は対数的で，シューア1形式の表示をもつことがわかった．付随してホロノミックな線形偏微分方程式も構成できた．さらに，同次元性より，係数の空間上に判別式=0,終結式=0に沿って対数極をもつ捩率0の平坦なアフィン接続も構成できた．
（２）(3,3)型6次元空間上の共形不変な場の理論：6次元空間は旗多様体としてSO(4,4)/Pとして表示できるが，P=MAN(ここでM=SO(3,3))のスカラー，ベクトル，スピンの誘導表現としてSO(4,4)の無限次元表現から質量0のスカラー場，電磁場，電子場を構成した．不変な運動方程式と解を考えた．
（３）次数つきリー代数の表現に付随したもの：重みつき線形偏微分方程式系とグラスマン多様体での部分多様体の外在的幾何との関係で，射影構造と共形構造の第1種以外の平坦でないものはA型接触構造とC型接触構造しかないことは示しているが，低次元のSL(3)とSp(2)の場合に明示的に調べた．またその場合に線形と非線形の関係がわかり，一般化ができた．例えば，D_2型線形とD_3型非線形，A_2型線形とC_3型非線形の関係がわかった．
（４）共形3対性に関連したもの：以前調べたC_2型旗多様体におけるツイスター図式とG_2型旗多様体におけるツイスター図式の幾何と特異点論の関連性がわかり，さらにA_2型，A_3型，B_3型を含む形でD_4型のヒエラルキーを考えた．ディンキン図形からわかるように3対性が見えてくる．(4,4)型ベクトル空間での1次元ヌル，2クラスの4次元ヌル全体からなるS^3×S^3と同相な3対のQ_0,Q_+,Q_-でのエンゲル曲線からの接曲面の特異点の分類を3対性を考慮しておこなった．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

（１）について：平坦な接続形式の対数性とシューア性についての深い考察がまだ足りないように思われる．
（２）について：3対性の立場から，D_4型での同値でない3つの8次元表現の関係を調べることから思わずSO(4,4)の無限次元表現を調べることになってよかったと思う．
（３）について：低次元の場合にもっと明示的に表示したかった．
（４）について：かなり進んだ．

Strategy for Future Research Activity

（１）について：1個の一般次数の一般変数の多項式のべきと指数の2通りの超幾何積分に関するガウス・マニン接続を構成したい．また，3個の2次の2変数多項式のべきの超幾何積分を終結式の不変式とからませて議論したい．
（２）について：相互作用がある場合を調べたい. カルツア・クラインの立場から，元来の4次元時空での質量0のSO(4,2)不変な場の理論との関連を調べたい．
（３）について：線形性と非線形性の関係の厳密な証明を与えたい．
（４）について：ヌル曲線についてのフレネ・セレ型の不変性，ヌル曲面についての特異点の分類，D_4と階数3以下の図式からの比較においての幾何，微分方程式を論じたい．また，例外型のF_4型図式についても考えたい．