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2011 Fiscal Year Annual Research Report

準周期タイリングの構成理論とエルゴード理論

Research Project

Project/Area Number 22540119
Research InstitutionKanazawa University

Principal Investigator

伊藤 俊次  金沢大学, 自然科学研究科, 特任研究員 (30055321)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 藤崎 礼志  金沢大学, 電子情報学系, 准教授 (80304757)
Keywords準周期タイリング / エルゴード理論 / マルコフ分割 / フラクタル / サブスティテューション / non-Pisot数
Research Abstract

本年度は、当該年度の研究実施計画(2)にみるように、4-interval exchange変換族上のRauzy inductionを通して現れる4文字substitutionの解析に取り組んだ。このsubstitutionは、その行列の固有値がnon-Pisot,既約、totally realとなる場合が多い点で、また標準的な14種の4文字substitutionの積によって生成されている点で、特徴的である(この14種のsubstitutionをgeneratorと呼ぶ)。
その結果、generator 8個からなるsubstitutionから生成される8種類のsubstitutionσ_iの列(i=0,1,…,7)について、Lσ_i-不変縮小平面上に、(平行四辺形ではなく)平行四辺形のブロッキングからなる多角形によるquasi-periodicなタイリング、そして、self-affineなタイリングの構成を、いわゆるタイルの裏向き問題を克服しながら、それぞれ明らかにすることに成功した。さらに、σ_iから生成される多角形によるquasi-periodicタイリングの隣り合うタイリング間の関係も解明した。
この結果は、non-Pisot,既約、unimodular, totally realなsubstitutionにおけるquasi-periodicタイリングの存在の例を新たに提示することに成功した点で、またさらに新しい例が考案される可能性を示唆した点で意義あるものである。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

現在、generator 8個からなるsubstitutionによって生成されるsubstitutionにおいては、タイリングの存在を確認しているが、その手法を、より広いRauzy inductionのsubstitutionに拡張するところまで進展している。

Strategy for Future Research Activity

generatorの異なるもういくつかの新しい例の上で、タイリングの存在の確認を行いたい。

  • Research Products

    (5 results)

All 2011 Other

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (3 results) Remarks (1 results)

  • [Journal Article] Algebraic numbers, free group automorphisms and substitutions on the plane2011

    • Author(s)
      Pierre Arnoux, 古門麻貴, Edmund Harriss, 伊藤俊次
    • Journal Title

      Transactions of the American Mathematical Society

      Volume: vol. 363 no. 9 Pages: 4651-4699

    • DOI

      DOI:10.1090/S0002-9947-2011-05188-3

    • Peer Reviewed
  • [Presentation]2011

    • Author(s)
      伊藤俊次
    • Organizer
      Workshop on Fractal geometry and Ergodic Theory
    • Place of Presentation
      MorningSide Center (China)
    • Year and Date
      2011-12-28
  • [Presentation] Non-Pisot substitutions from RID and quasi-periodic tilings2011

    • Author(s)
      伊藤俊次
    • Organizer
      共同研究「自己相似タイリングの剛性定理とその周辺」
    • Place of Presentation
      京都大学数理解析研究所(京都府)
    • Year and Date
      2011-12-21
  • [Presentation] Non-Pisot substitutions from RID and quasi-periodic tilings2011

    • Author(s)
      伊藤俊次
    • Organizer
      研究集会「エルゴート理論とその周辺」
    • Place of Presentation
      大阪大学大学院理学研究科(大阪府)
    • Year and Date
      2011-12-09
  • [Remarks]

    • URL

      http://www.shunjiito.com/

URL: 

Published: 2013-06-26  

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