2010 Fiscal Year Annual Research Report
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22540163
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| Research Institution | Kwansei Gakuin University |
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Principal Investigator |
小谷 眞一 関西学院大学, 理工学部, 教授 (10025463)
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| Keywords | ランダムスペクトル / 力学系 / 可積分系 |
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| Research Abstract |
今年度は佐藤博士によりはじめられたグラスマン多様体による可積分系の理論の解析的な立場からの基礎付けを第1の目標にして研究した。対象とするグラスマン多様体は単位円周上の2乗可積分関数全体のヒルベルト空間の部分空間である種の性質を満たすもの全体として定義される。代表者は、この部分空間に対して特性関数を定義し、この関数が満たす必要十分条件を求めた。佐藤理論ではこのグラスマン多様体に無限次元の群が作用する。したがってこの群により部分空間が別の部分空間に移るが、代表者はこの作用を特性関数の立場から考察し、1次元シュレーディンガー作用素の場合のスペクトルの研究で重要な役割をする上半平面で正則な関数であるワイル関数を部分空間の特性関数を使い定義するとき、この変換によりワイル関数が1次分数変換の形で変換されることを発見した。さらにこの部分空間がある種のシフト作用素の不変部分空間として特徴づけられることを示し、この不変部分空間が有限次元の場合に完全に部分空間(グラスマン多様体の元)を決定し、この場合のタウ関数が古典的なKdV方程式の解の表現に現れる行列式の形で求まることを確かめた。
これらの考察により基礎はほぼ確立できたが、スペクトルが有限帯の場合にこの立場からイソトロピー群で割った商群が有限次元のトーラスになることの証明が残っている。
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