2010 Fiscal Year Annual Research Report
ヘルムホルツ方程式の解の漸近形とその数学的散乱理論への応用に関する研究
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22540198
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
門脇 光輝 愛媛大学, 大学院・理工学研究科, 准教授 (70300548)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
渡辺 一雄 学習院大学, 理学部, 助教 (90260851)
中澤 秀夫 千葉工業大学, 工学部, 准教授 (80383371)
渡辺 道之 新潟大学, 人文社会科学系, 准教授 (90374181)
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| Keywords | 半空間弾性波 / P波とS波 / ヘルムホルツ方程式 / レゾルベント / 定常位相の方法 / 停留点 |
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| Research Abstract |
1.半球面積分の漸近的評価について
3次元半空間弾性波動に関するPモード(入射P波+反射P波+反射S波)とSV・SVOモード(入射S波+反射S波+反射P波)に関するレゾルベントの漸近形を得るには空間変数に依存するある半球面上の積分の漸近形を求める必要がある。そのためには定常位相の方法の適用による解析が標準的であるが、従来の定常位相の方法の適用では停留点が半球面境界付近に存在する場合の扱いは困難であった。そこで、従来の方法に改良を加え、3次元半空間版の定常位相の方法を構築した。具体的にはフレネル型積分を用いて停留点が境界付近にあることを表現することが可能となった。そして、この適用によってPモードに関する半球面積分に関する漸近形を得た。一方、SV・SVOモードに関する半球面積分の場合は、その入射方向に依存して反射P波がモード変化を起こすために更なる改良が必要である。しかし、このモード変化によって現れるある不連続性に留意した解析を行うことで対応可能であることを突き止めることができた。
2.3次元半空間弾性波動のレゾルベント評価について
任意に固定されたスペクトル域(周波数域)に対する半空間弾性波動レゾルベントの一様有界性をある位相で得ることができた。証明には正値交換子法を用いた。また、そのための双対作用素は伸長作用素の生成作用素と半空間弾性波動の関する固有関数展開定理を組み合わることで構成した。
この一様有界性は、上記の半球面積分の解析結果からレゾルベントおよびヘルムホルツ方程式の解の漸近形を得るために必要不可欠な評価である。
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