2010 Fiscal Year Annual Research Report
変分問題と関連した非線形偏微分方程式の解の正則性に関する研究
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22540207
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
立川 篤 東京理科大学, 東京理科大学理工学部, 教授 (50188257)
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| Keywords | 変分問題 / 偏微分方程式 / 調和写像 / 正則性 |
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| Research Abstract |
変分問題と関連した非線形偏微分方程式の解の正則性に関して、本年度は主にFinsler多様体への調和写像の正則性とVMOクラスの係数を持つp(χ)-調和写像の正則性について研究を行った。Finsler多様体への調和写像については、Riemann多様体への調和写像の研究において1982年に発表されたGiaquinta-Giustiによるone-sided条件に対応する条件と、さらに強い構造的な条件を課すことにより、前記のGiaquinta-Giustiの結果に対応するHolder正則性に関する結果を得ることができた。また、この仮定を満たすようなFinsler構造の例も与えた。この結果については現在、論文投稿中である。一方、、定義域側の多様体が2次元である場合については一般により強い結果が期待できるが、こちらについても研究を進め、一定の成果を得つつあり、こちらも近日中に論文として纏める予定である。また、VMOクラスの係数を持つp(χ)-調和写像の問題については、本科研費によってPisaのEnnio De Giorgi研究所へ出張し、Catania大・M.A.Ragusa准教授とともに共同研究を鋭意行った。その結果、係数がVMOクラスに入るということよりも、汎関数のgrowthorderが定数でなくp(χ)という関数になっていることに起因する本質的は困難さが明確になり、今後、この困難さを如何に乗り越えていくか現在も研究中である。また、一般にp(χ)-growthをもつ汎関数の研究が特にヨーロッパにおいて注目を浴び、盛んになってきている現状も認識することができ、最新の研究成果を知ることも出来た。しかし、いずれの結果も上述した本質的な困難さを克服するには至っていない。
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