2010 Fiscal Year Annual Research Report
平面閉曲線の曲げエネルギーに対する複数の制約条件の下での勾配流の解析
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22540219
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
長澤 壯之 埼玉大学, 大学院・理工学研究科, 教授 (70202223)
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| Keywords | 変分問題 / 勾配流 / 制約条件 / Lagrangeの未定乗数 / 曲げエネルギー |
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| Research Abstract |
複数の制約条件を持つ変分問題に付随する勾配流を考察した。制約条件を持つ変分問題は、通常、ラグランジュの未定乗数法が用いられるが、複数の条件が独立でなくなるとき、未定乗数が一意に定まらなくなり、解くべき方程式が定まらなくなる。これを条件の退化と呼ぶ。そこで、未定定数が表面に現れないように問題を制約条件から定まる接空間への射影を用いて再定式化して解析する。Projected Gradient Flowと呼ばれるものである。
本研究では、平面閉曲線の曲げエネルギーに、曲線の長さと囲む面積を制約条件とする変分問題の勾配流を研究した。解の存在と一意性について、基本となるのは、線形化作用素のスペクトル解析である。平面閉曲線の場合のスペクトル解析は、古典的なHillの方程式の解析に帰着される。その固有値の漸近分布について、従来知られている結果を改良することが出来、論文として公表した。勾配流において、初期時刻で制約条件が非退化である場合に、時間発展に伴い、有限時間内に条件の退化が起こり得るのかという問題は、有限時間内に曲率の爆発が起こり得るかという問題と同値である事が明らかになった。爆発現象は、次元に左右されると考えられるため、超曲面の曲げエネルギーに関する同様な条件付勾配流についても考察した。Projected Gradient Flowにより問題を再定式化し、局所解の存在と一意性を示した。これは、平面閉曲線の場合を含むもので、局所存在と一意性に関しては、これまでの結果を含め整理された形になった。現在、論文を投稿中である。次元が1(平面閉曲線)の場合と2次元以上の場合では、曲げエネルギーの共形的な性質の解析により、大域解の存在または有限時間爆発について差が現れるとの予想に至った。
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