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2012 Fiscal Year Annual Research Report

平面閉曲線の曲げエネルギーに対する複数の制約条件の下での勾配流の解析

Research Project

Project/Area Number 22540219
Research InstitutionSaitama University

Principal Investigator

長澤 壯之  埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70202223)

Project Period (FY) 2010-04-01 – 2013-03-31
KeywordsHelfrich流 / 勾配流 / 局所存在 / 大域存在 / 一意性
Research Abstract

n次元超曲面の平均曲率の2乗積分で定義される汎関数に、超曲面に面積とそれが囲む体積を制約条件として考える変分問題をHelfrich変分問題といい、対応する勾配流をHelfrich流という。本研究は、対象が閉曲線の場合であるので、n=1に相当する。
Helfrich流については、従来は nが2以下の場合に存在が示されているが、ここでは、一般次元の場合の存在を証明した。また、その一意性について考察した。
大域的存在については、未知の部分が多い。n=1 の場合は大域解が存在し、nが2以上の場合は、解の爆発が起こり得ると考えられる。本研究では、n=1 の場合を考察することが目的であったが、次元による差を明確にするため、一般次元を取り扱った。
一般次元であっても、対称性を仮定し、一般化された回転超曲面を扱うとすれば、閉曲線の解析に帰着される。ここでは、与えられた関数を平均曲率にもつ一般化された回転超曲面の存在を考察した。与えられた関数の仮定は連続性のみという下で、全てのタイプの回転超曲面の存在を証明した。
論文2編を公表し、学会やその他の研究集会にて発表した。

Current Status of Research Progress
Reason

24年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

24年度が最終年度であるため、記入しない。

  • Research Products

    (4 results)

All 2013 2012 Other

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 2 results) Presentation (2 results) (of which Invited: 1 results)

  • [Journal Article] Existence and uniqueness of the n-dimensional Helfrich flow2013

    • Author(s)
      T. Nagasawa
    • Journal Title

      Springer INdAM Series "Geometric Properties for Parabolic and Elliptic PDE's"

      Volume: 2 Pages: 237-250

    • DOI

      10.1007/978-88-470-2841-8_15

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Local existence and uniqueness for the n-dimensional Helfrich flow as a projected gradient flow2012

    • Author(s)
      T. Nagasawa
    • Journal Title

      Hokkaido Math. Journal

      Volume: 41 Pages: 209-226

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 与えられた関数を平均曲率に持つEuclid空間内の一般化された回転超曲面の大域的存在について2012

    • Author(s)
      長澤 壯之
    • Organizer
      研究集会「界面と数理の幾何解析」
    • Place of Presentation
      芝浦工業大学(埼玉県)
    • Year and Date
      20121129-20121130
    • Invited
  • [Presentation] 与えられた関数を平均曲率に持つEuclid空間内の一般化された回転超曲面の大域的存在について

    • Author(s)
      長澤 壯之
    • Organizer
      日本数学会
    • Place of Presentation
      九州大学(福岡県)

URL: 

Published: 2014-07-24  

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