2014 Fiscal Year Annual Research Report
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22540222
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
磯部 健志 東京工業大学, 理工学研究科, 准教授 (10262255)
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| Project Period (FY) |
2010-04-01 – 2015-03-31
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| Keywords | ディラック方程式 / モース理論 / モース・フレアーホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２６年度はスピン多様体上で定義された非線形ディラック方程式に対するモース・フレアー理論を研究した。昨年度までで優２次の非線形項をもつ非線形ディッラック方程式に対しては、そのホモロジーの構成と計算のアイデアをほぼ得ていたので、本年度はそれらを細部まで込めて完成させる事と昨年度から書いている論文の執筆に集中した。最終的には、優２次の非線形項をもつ非線形ディッラック方程式に対しては、モース・フレアーホモロジーの構成とそのホモロジーの計算を一通り完成する事ができた。結果は２つの論文に分けて現在まとめているところである。
ホモロジーの構成を行うためには、汎関数の自然なヒルベルト空間における正則性に対する制限を克服する必要があったが、この問題はより正則性の高い適当なスピノル空間を見つけ、その空間上で勾配流のコンパクト性と横断正則性が同時に成り立つことを示す事で克服できた。つぎに、ホモロジーの計算を実行するために、汎関数の有界な摂動をこえたより一般的な摂動に関するホモロジーの不変性を証明する必要があったが、これもより精密な形での勾配流空間のホモトピー変形に対するコンパクト性を示す事で克服できた。その結果として、優２次の非線形ディラック方程式に対してはそのモース・フレアーホモロジーは消滅することを証明した。このホモロジーの消滅定理の応用として、優２次非線形ディラック方程式の解の存在定理を証明した。
更に、今年度は、漸近的に２次的な振る舞いをする非線形ディラック方程式とコンパクト多様体上のディラック・測地線に対するモース・フレアーホモロジーの構成に関しても予備的な考察を行った。これらに対しては、まだ具体的な結果を得るには至っていないが、次年度以降の研究につながる予想をたてることができた。
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| Research Progress Status |
26年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
26年度が最終年度であるため、記入しない。
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