極小曲面論並びに関連する幾何学的変分問題における特異点と均衡条件

2013 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 22540232
• Research Institution: Osaka City University
• Principal Investigator: 加藤 信 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10243354)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 高橋 太 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10374901)
• Project Period (FY): 2010-04-01 – 2015-03-31
• Keywords: 多様体上の解析 / 極小曲面

Research Abstract

三次元 Euclid 空間の埋め込まれた end のみを持つ有限全曲率完備極小曲面、いわゆる n-noid について、前年度、種数が 0 の場合について、end の個数が 4 である場合において、その安定性を計る指標である index と nullity につき、新たな結果を得ていたが、本年度はその結果を、end の個数が 4 より大きく、かつある種の対称性を持つ場合に一般化した。また具体的にどのような曲面がそれに対応するのかについても、非自明な例を新たに与えた。これら非自明な例の特徴は、本研究において特に重要な役割を果たす flux の配置の特殊性にあり、そのことが、一般的に index とnullity とどのような関連性を持つかについても、部分的な結果を得た。研究のこの部分は、立道康介氏との共同研究によるものである。
また、これまで奇数個の平面型の end のみを持つ例しか知られていなかった、射影平面上の n-noid についても、平面型の end 1 個の他は catenoid 型の end を持つ例を、end の個数が 4 以上の偶数である場合において構成した。これらの例は、より一般の order を持つ向き付け不可能な極小曲面の族の一部として得られたものであるが、 Chern-Osserman の不等式の等号条件を満たすものとして、特に重要であると考えられる。研究のこの部分は、濱田航平氏との共同研究によるものである。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

種数が 1 の場合については、定式化を完了したことと、それを用いて新しい例を多く構成し、崩壊する連続変形族を観察、各クラスにおいてどのような極限曲面が現れ得るか、多くの具体的な情報を得た。
また、種数が 0 の場合について、index と nullity につき新たな情報を得ることにより、解空間の generic でない点およびその近傍における構造が、これまでより具体的に見えるようになったと言える。
さらに、射影平面上の新たな例を得たことで、向き付け不可能な n-noid についても、重要な進展があった。

Strategy for Future Research Activity

種数 0 で end の個数が 4 の場合、または end の個数が 4 より大きくかつある種の対称性を持つ場合において、その安定性を計る指標である index と nullity につき、より多くの非自明な例を構成し、それらの特徴付けをさらに進める。また、それとも関連付けながら、種数 0 の場合の解空間の分析をさらに推し進める。
種数 1 の場合についても、より対称性の低い例を構成することにより、引き続き崩壊現象の分析を進める。
また、新たに得られた向き付け不可能な例についても、さらに分析を進める。