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2012 Fiscal Year Annual Research Report

超離散可積分系の等位集合の大域構造

Research Project

Project/Area Number 22540241
Research Institution防衛大学校

Principal Investigator

高木 太一郎  防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工, 応用科学群, 准教授 (00531766)

Project Period (FY) 2010-04-01 – 2013-03-31
Keywords可積分系 / セルオートマトン / トロピカル幾何学 / 超離散化 / 結晶基底 / 戸田格子
Research Abstract

本研究の目的はアフィン・リー代数に関連した周期的可積分セルオートマトンを構成し、その等位集合の構造を解明することである。平成24年度の研究成果は以下のとおりである。
1.トロピカル周期戸田格子(超離散周期戸田格子)の可換なフェイズフローを、周期箱玉系の場合の構成法の一般化および量子群の結晶基底に対する纏絡写像の一般化により構成することに成功した。この力学系については、ラックス形式に基づく離散周期戸田方程式の保存量のトロピカル化を使って定義される「スペクトル曲線」の滑らかさ(ソリトンの振幅に重複がないこと)の仮定のもとに、ヤコビ多様体のトロピカル化として等位集合を記述するという先行研究があるが、可換なフェイズフローの構成法については知られていなかった。本研究ではまずこの力学系を2色の帯により「セルのないセルオートマトン」として実現した。量子群の結晶基底を幾何学化した幾何クリスタルの理論において双有理的な纏絡写像が構成されており、その超離散化としてクリスタルの組合せ論的な纏絡写像が得られることが知られていた。本研究では超離散化(従属変数を含む全変数離散化)はせずにトロピカル化(方程式の区分線形化)のみを行なって得られる纏絡写像の満たすヤン・バクスター関係式を用いるというアイデアにより、上述の2色の帯による記述と合わせて可換なフェイズフローの構成を行なった。結果は論文として出版し、国外および国内学会において発表した。この結果を基にして、スペクトル曲線の滑らかさを仮定しない場合の等位集合の構造に関して研究が進展中である。
2.等位集合の構造を反映する概念として、周期的可積分セルオートマトンのエルゴード性を考察し、素数の性質と関連したいくつかの興味深い観察を得た。学術上の新たな知見となりうるか現在検証中である。

Current Status of Research Progress
Reason

24年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

24年度が最終年度であるため、記入しない。

  • Research Products

    (4 results)

All 2012 Other

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (3 results)

  • [Journal Article] Commuting Time Evolutions in the Tropical Periodic Toda Lattice2012

    • Author(s)
      Taichiro Takagi
    • Journal Title

      Journal of the Physical Society of Japan

      Volume: Vol.81 Pages: 104005-1~7

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] A family of commuting time evolutions in the tropical periodic Toda lattice

    • Author(s)
      Taichiro Takagi
    • Organizer
      Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems 2012
    • Place of Presentation
      オーソドックス・アカデミー,クレタ島,ギリシャ共和国
  • [Presentation] トロピカル周期戸田格子における可換な時間発展

    • Author(s)
      高木 太一郎
    • Organizer
      日本数学会 2012年度秋季総合分科会
    • Place of Presentation
      九州大学伊都キャンパス(福岡県)
  • [Presentation] オイラーの幸運数とセルオートマトンのエルゴード性

    • Author(s)
      高木 太一郎
    • Organizer
      日本物理学会第68回年次大会
    • Place of Presentation
      広島大学東広島キャンパス(広島県)

URL: 

Published: 2014-07-24  

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