| Research Abstract |
この研究の目的は,交代符号行列をLie理論の中で捉えなおすことにより,交代符号行列にまつわるさまざまな現象を統一的に理解し,さらにその一般化,その背後にある幾何的対象を見出すことである.特に,古典型(B,C,D型)の交代符号行列の概念を確立し,上記の現象の対応物を見出すことである.
交代符号行列の数え上げでは,対応するsquare ice mode1の分配関数として現れる(n-1,r-1,...,2,2,1,1)などの特別なYoung図形に対応する古典群の既約指標が鍵となる.2010年度の研究では,このような既約指標の特徴付けを探ったが,その過程でPin群のspinor表現に対する普遍指標の理論の整備の必要性が判明した.そこで,この理論整備を進め,e^2=1をみたす元eを付け加えた環に係数をもつ対称関数の族を導入し,これらの対称関数を用いてPin群のspinor表現も含めた表現環の構造を記述することに成功した.さらに,もとになる線型空間の直交直和分解に付随して現れるPin群の部分群の構造,表現論についても研究を進め,Pin群の既約表現を制限したときの既約分解も対称関数を用いて計算できるようになった.
また,half-turn symmetricな交代符号行列の分解,関連する平面分割の数え上げについても,わずかながら進展が見られた.
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