2011 Fiscal Year Annual Research Report
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22654014
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山田 道夫 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90166736)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
竹広 真一 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (30274426)
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| Keywords | ナビエ・ストークス方程式 / コルモゴロフ流 / リヤプノフ解析 / 共変リヤプノフ解析 / 力学系 / 双曲性 / 相関関数 |
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| Research Abstract |
2次元Navier-Stokes方程式の解である2次元トーラス([0,2π]×[0,2π])の上のKolmogorov流を対象として,共変リヤプノブ解析によるカオス状態の解析を行うことが目的である.これまで,Reynolds数をパラメータとして乱流化の過程を含む分岐ダイアグラム・を調べ,カオスが発生するReynolds数の前後において従来のリヤプノブ解析を実行し,カオス発生の臨界Reynolds数において第一リヤプノブ数が正となること,またその少し上のReynolds数において第二リヤプノブ数も正となること,を見出した.さらにこのデータに基づいて,Ginelli et al.による共変リヤプノブベクトルを計算し,解軌道に沿う安定/不安定多様体の接空間のなす角度分布を求めることで,カオス化の直後は解軌道は双曲的であるが,第二リヤプノブ数が正に転じるReynolds数の付近で非双曲的となることを見出した.今年度はこの双曲/非双曲の転移点において,流れ場の物理的性質がどのように変化するかに注目し,特に渦度場の時間変化の特徴を中心に詳細に調べた.その結果,空間の一点における渦度の時間相関関数の関数形が,系が双曲的であるReynolds数においては振動的な長時間相関を持つのに対し,双曲/非双曲転移を経て非双曲的であるReynolds数においては非振動的な長時間相関を持つことを見出した.引き続き,このような系の双曲/非双曲転移に伴う流れ場の変化とともに,共変リヤプノブベクトルに見られる特徴を調べることが次年度の課題である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
計画当初,共変リヤプノブ解析をNavier-Stokes方程式のような複雑な偏微分方程式で実行し双曲/非双曲性の判定することが可能かどうか危ぶまれる挑戦的課題であったが,本研究においてこの数値解析が成功し,物理的意味の大きな系における共変リヤプノブ解析を実行した.またその結果,Navier-Stokes流の一例においてReynolds数と共に双曲系から非双曲系への転移が起こることを初めて見出した.
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| Strategy for Future Research Activity |
平成24年度は本研究計画の最終年度であるので,これまでの研究結果を踏まえて,Navier-Stokes方程式に従うKolmogorov流の双曲/非双曲転移と物理量,さらにカオスパラメータの関係を調べ,この系における共変リヤプノブ解析の結果をまとめる.特に高次の共変リヤプノブベクトルの性質の特徴を中心に研究を行う予定である.
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