2012 Fiscal Year Annual Research Report
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22684003
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
浅岡 正幸 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10314832)
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| Project Period (FY) |
2010-04-01 – 2014-03-31
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| Keywords | 群作用 / 力学系 / 葉層構造 |
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| Research Abstract |
ある可解群の球面への作用の剛性に関する昨年度の結果を見直すことで，GhysによるFuchs群の円周への自然な作用の局所剛性に関する結果の別証明を得る事が出来た．この新しい証明は，GhysやKononenko-Yueの証明で使われたAnosov懸垂葉層とは異なりAnosov葉層ではない懸垂葉層を用いるものであり，Anosov葉層を懸垂葉層に持たない他の離散群作用の剛性問題への応用が期待できる．特に，Fuchs群のGL(n,R)へのFuchs表現から得られる球面上の作用の局所剛性問題への応用が期待でき，その方向で研究を進めたが，これについては残念ながらいつくかの困難があり，まだ結果を得るには至っていない．一方，昨年度得た結果で用いた方法を直接応用することで，ある可解群のトーラス上の作用の局所剛性に関する結果も得ることができた．これらの結果に関する論文は現在執筆中である．
これらの研究と並行して，多くの重要な作用が関係する部分双曲的力学系の理解を深めるために，部分双曲力学系でどのくらい複雑な現象が起こりうるかについての研究も行った．その結果，これまで部分双曲系から離れたところでしか観測されなかった，「周期点の数の超指数的増大」という現象が部分双曲系でもありふれていることがわかった．この結果については，まだC^2級位相でしかありふれていることが証明できていないので，より高い微分可能性を持つ場合も証明するべく，篠原-Turaevとの共同研究として，来年度も継続する予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画にあった「剛性を持つ新しい作用を構成する」という目標は，前年度のある可解群の球面への作用の局所剛性に関する結果と，本年度のそのトーラス上の作用の応用によっておおむね達成されている．これらの作用が剛性を持つメカニズムはこれまでに知られていなかったものであり，その面でも満足のいく結果を得ている．当初の計画にあったSO(n,1)に関わる作用の局所剛性については，申請時の方針では証明が難しいことが判明している．そのかわりに昨年度に得た結果がこの作用にも応用ができることが期待できるが，これは来年度への課題として残されている．
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度，本年度に得た成果をもとに，申請時からの課題であるSO(n,1)に関わる群作用の剛性問題の解決を目指す．またその無限小剛性についてもこれまでに得た表現論，調和解析に関する知識をもとに問題の解決を目指す．
来年度は研究の最終年度なので，これまでに得た成果を論文としてまとめ，また，研究集会などで成果発表を行いたい．
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