2011 Fiscal Year Annual Research Report
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22740001
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
深澤 知 山形大学, 理学部, 助教 (20569496)
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| Keywords | ガロア点 / 正標数 / 射影代数名様体 / 射影 / ガロア群 / ガウス写像 |
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| Research Abstract |
ガロア点を用いた射影多様体の分類理論の基盤となる本研究の中心的問題「正標数において非特異平面曲線のガロア点の個数を決定せよ」という問題を完全に解決した。標数をp≧0とし、次数dの既約平面曲線Cを考える。射影平面内の点PがCに対するガロア点であるとは、Pからの点射影が呈する関数体の拡大がガロア拡大となるときに言う。
まず標数p=2において、次数が2べきの非特異曲線についてガロア点の分布を明らかにした。クライン4次曲線はこの次数の仮定において最多のガロア点をもつことがわかった。さらにこの曲線を「ガロア点を複数もつ」という性質を保ちながら一般化し、そのガロア点の分布を明らかにした。一般化したものは特異点をもつが、複数のガロア点をもち、この種の新しい例を提示できたことになる。
次に、非特異平面曲線のガロア点の個数について未解決で残っていたすべての状況において、ガロア点の分布を明らかにした。非特異平面曲線の外にあるガロア点の個数は上から(d-1)^4+(d-1)^3+(d-1)^2,7,3,1,0となることがわかり、上位三位までの個数をもつ平面曲線の特徴づけを与えた。一位は次数dがpべきプラス1のフェルマー曲線として、二位はクライン4次曲線として特徴づけられる。
ガロア点と周辺分野との関係の創出、という目的に関して、本間正明氏、Seon Jeong Kim氏との共同研究により、ある種の平面曲線上の有理点を用いて構成される代数幾何符号の最小距離がグリースマ境界に到達することを示した。この曲線のガロア点の配置は有理点と一致することがわかっており、ガロア点・有理点・符号の関係が見出された例として大変興味深いと思われる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
分類理論の基盤となる、本研究課題の中心的問題「非特異平面曲線のガロア点の分布を決定せよ」を完全に解決できた。これは他の問題「正標数における非特異超曲面のガロア点の個数の上限と分類」への進展にもつながる。また、本間氏・Kim氏との共同研究によって、ガロア点・有理点・符号の関係を見出す例が与えられたことは、もう一つの目的「他分野との関係を見出す」ことを具現化できたことを意味する。
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| Strategy for Future Research Activity |
進展がおおむね順調なので、基本的には計画通り、ガロア点を用いた分類を推し進め、他分野との関係性を見出す研究を行なう。ガロア点を用いた分類理論においては特異曲線についても考察する。高次元の場合については正標数への拡張にはいくつかの命題を精査する必要がでてきており、これを行なう。ガロア点・有理点・符号の関係について、良い例が得られているので、その研究を発展させたい。
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