既約シンプレクティック多様体の構造の明示的研究

2011 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 22740004
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 永井 保成 早稲田大学, 理工学術院, 講師 (50572525)
• Keywords: 代数多様体 / 双有理写像 / 退化

Research Abstract

当初の計画通り,今年度はモジュライ空間として得られる既約シンプレクティック多様体の双有理変換について,また,既約シンプレクティック多様体の退化について研究を行った.
まず,第1の双有理変換の研究に関してはO'Gradyの例を離れ,代数曲線上の放物Higgs束のモジュライ空間の双有理幾何学について検討した.放物Higgs束のモジュライ空間はコンバクトな代数シンプレクティック多様体ではないが,Hit chin可積分系などとの関連からも興味ある研究対象である.一般に放物構造を変化させ壁越えが起こったときに,代数的シンプレクティック多様体のフロップが得られると期待されるが,文献を見る限りあまり多くは研究されていない.いくつかの具体例の計箪を行い,また主Higgs束の場合などに関しても検討したが,残念ながら一般の状況で特筆すべき結論を待るところまでの進展には未だ至っていない.
また,既約シンプレクティック多様体の退化については,K3曲面の半安定退化の対称積として得られる退化族の位相不変量などの計算を行い,ホッジ構造の退化の観点からどのような料組みでこれをとらえるべきかについて検討した.高次元の族では極小モデル理論などの観点からも、半安定退化のみを研究していたのでは不十分であることはよく知られている.本年度は既約シンプレクティック多様体の退化のみならず,特異点を許したような一般の代数多様体の退化に付随するホッヂ構造の退化についても検討を行った.

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

最初の目標であったO'Gradyの例に閉する研究では既に満足いく結論を得て論文雑誌に投稿中である.既約シンプレクティック多様体の退化についても,具体例の計算などを通して検討を進めている.

Strategy for Future Research Activity

当初より目標としている既約シンプレクティック多様体の双有理幾何および退化の明示的な研究について継続して研究を行っていきたいが,来年度は特に既約シンプレクティック多様体の退化の問題に集中して研究時間を確保しまとまった成果を得たい.