2010 Fiscal Year Annual Research Report
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22740023
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
田中 孝明 慶應義塾大学, 理工学部, 専任講師 (60306850)
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| Keywords | Mahler関数 / 超越数 / 無限積 / 代数的独立性 / 整関数 / フィボナッチ数列 |
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| Research Abstract |
今年度はMahler関数の特殊値の集合として与えられる超越数のクラスの構造解明を目指す最初の段階として、Mahler関数の特殊値に帰着可能な無限積の代数的独立性の研究に取り組んだ。特に、無限積表示される整関数であって、零点の集合が2項回帰整数列{R(n)}_<n〓1>の等比数列に対応する部分列{R(d^n)}_<n〓1>を成す場合に、そのような整関数の特殊値の代数的独立性の必要十分条件を記述する研究に従事した。その結果、{R(n)}_<n〓1>がフィボナッチ数列やルカ数列といった代表的な数列の場合に整数値が(代数的独立の否定である)代数的従属となる必要十分条件の記述に成功した。この結果をまとめた論文は査読付学術誌に掲載された。更に、上記の2数列より一般的な{R(n)}_<n〓1>についても、{R(d^n)}_<n〓1>を零点とする無限積で表される整関数が次に述べる著しい性質を有する場合について並行して研究を進めた。整関数に関するその性質とは、自明な零点を除いた相異なる代数的数における値及びそれら代数的数における逐次微分をすべて併せた無限集合が代数的独立となることである。先行研究においてこの性質をもつ整関数の種々の実例が知られていたが、いずれの実例についても零点の分布は未知であり、今年度の研究において、そのような性質を有する整関数の無限積表示の実例を得たことは意義がある。この結果は中間段階にあるが現時点の成果を数理解析研究所研究集会において発表した。また、{R(n)}_<n〓1>とd^nの関係を逆にした{d^<R(n)>}_<n〓1>を零点とする無限積で表される整関数についても同様に上述の著しい代数的独立性を有することを証明し、ディオファンタス解析研究集会において発表した。
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Research Products
(3 results)
