2010 Fiscal Year Annual Research Report
Tate‐Shafarevich群の計算法開発とその応用
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22740024
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| Research Institution | Tsuda College |
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Principal Investigator |
松野 一夫 津田塾大学, 学芸学部, 准教授 (40332936)
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| Keywords | 楕円曲線 / 岩澤理論 / Tate-Shafarevich群 |
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| Research Abstract |
本年度は、有理数体上定義された楕円曲線の2進岩澤μ不変量の計算および2進岩澤主予想の検証から研究を開始した。既に結果を得ていた楕円曲線の2進岩澤μ不変量とある代数体の一部分岐岩澤加群のμ不変量との関係を精査し、円単数の計算なども利用してμ不変量の実例計算を行った。その結果は2進岩澤μ不変量に関する予想と合致しており、予想の実証を行ったことになる。また、八森との共同研究で得た木田の公式の楕円曲線における類似の2進岩澤λ不変量の場合と、加藤による岩澤主予想についての結果を組み合わせることにより、μ不変量についての予想が正しいという仮定のもとで楕円曲線の2進岩澤主予想の検証が行えるのであるが、μ不変量の予想を確認した範囲のすべての曲線で主予想が正しいことも具体的な計算により確認した。実際の計算にはMagma上に実装した楕円曲線のp進L関数を求めるプログラムを用い、対象となる曲線やその2次twistに対して各種の不変量を計算することで結果が得られる。
上記の岩澤不変量などの計算と並行して、Fisherらの結果を基にした、3-descentや5-descentによる代数体上の楕円曲線のSelmer群の計算プログラムの実装および実例計算も行うことを計画していたが、実装に使っているMagmaの不具合などの影響もあり、想定していたほどの進展が得られなかった。Magmaの不具合も解消されつつあるようなので、次年度以降にも引き続き実装・計算を行い、早急に応用面へとつなげられるようにしたいと考えている。
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