2011 Fiscal Year Annual Research Report
代数的位相幾何学の手法によるシューベルトカルキュラスの研究
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22740051
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
鍛冶 静雄 山口大学, 大学院・理工学研究科, 講師 (00509656)
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| Keywords | 幾何学 / トポロジー / 同変コホモロジー / シューベルトカリキュラス |
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| Research Abstract |
旗多様体には自然にトーラスが作用しているが、この作用による同変コホモロジニーは、シューベルトカリキュラスの主テーマであり、様々な道具を用いて研究されている。それらの手法を、旗多様体を含む、より一般の多様体へと拡張することを本研究では考えた。
トーラス作用を持つ多様体の同変トポロジーは、トーリック幾何、同変シンプレクティック幾何、シューベルトカルキュラス等、多くの分野において重要な研究対象である。本研究では、トーラス作用がリー群の作用へと持ち上がる場合を考察し、トーラス同変コホモロジーに誘導されるワイル群の作用を調べることで、その構造に関するいくつかの性質を導いた。
特に旗多様体の場合には、同変コホモロジー環と二重不変式環の間の同型に明確な表示を与え、固定点への局所化が多項式の代入に対応するという事実に、統一的な証明を与えた。また、シューベルト多様体が同変コホモロジーにおいて表現する多項式を、リー群の型に依らず、統一的に与えた。これは、シューベルト多項式の一つの同変化と呼べる。さらにこの表示をもとに、Chevelley公式といったシューベルトカリキュラスにおける古典的な公式を、同変版へと拡張した。またこれらの結果は、数式処理ソフトウェアMaple上に実装し、代表者のwebページにおいて公開している。
旗多様体の一般化としては、リー群の作用を持つ多様体であって、その作用のトーラスへの制限がGIKM条件と呼ばれるものを満たす場合を考えた。GKM多様体は、トーラス多様体や旗多様体を含む広いクラスであり、多様体のトポロジーをグラフ理論に結びつけることができるため、幾何と組み合わせ論の双方から盛んに研究されている対象である。本研究では、その様な多様体に対して、シューベルトカリキュラスの手法、特に、同変コホモロジー環における「性質の良い」基底の構成、差分商作用素とよばれる作用素の定義、GKMグララに対するワイル群の作用の記述を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
内外の研究集会で成果を積極的に発表しているが、興味を持って聞いてもらえており、談話会やセミナーにも度々招聘された。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度7月には、本研究課題のテーマであるシューベルトカリキュラスについて、代表者が組織委員を務める国際集会が開催される。国内外の専門家らと討議をし、現在の研究を推進し、新たな共同研究が生まれることが期待される。
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