2012 Fiscal Year Annual Research Report
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22740083
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| Research Institution | Ochanomizu University |
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Principal Investigator |
桑田 和正 お茶の水女子大学, 大学院人間文化創成科学研究科, 准教授 (30432032)
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| Project Period (FY) |
2010-04-01 – 2014-03-31
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| Keywords | リッチ曲率 / 曲率次元条件 / 熱分布の微分評価 / ヴァッサーシュタイン距離 / ホップ・ラックス半群 |
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| Research Abstract |
既知であった「Ricci曲率の下限」に関連する熱半群の微分評価に次元の条件を加味した精密化に対して，一般の枠組で，対応するWasserstein距離評価の定式化と同値性の証明に成功した．特異性を持つ空間上で，熱半群に対する曲率次元条件を得るための嚆矢となる結果と言える．熱半群の微分評価には広汎な応用があり，研究の進展は測度距離空間上の幾何解析に大きく資するものである．また，この同値性を通じて得たWasserstein距離評価はそれ自体新しいものであり，最適輸送に基づく熱分布の解析学に新たな光を当てるものと期待される．
微分評価とWasserstein距離評価の双対性についても，gauge-Orliczノルム双対性を含む形で，技術的な条件を全て取り除いた形で成り立つことを明らかにした．また，そのために必要なHopf-Lax半群の理論を拡張した．さらに，Wasserstein距離評価が，その対象となるMarkov核への各種操作に対して安定であることを示した．特に従属操作での安定性を通じて，熱分布の従属操作で得られる半群に対する新たな微分評価を得た．
RIcci流の下での確率解析について，Lott氏により導入された新しい時空間経路空間上の汎関数が定める最適輸送費用が熱分布の元で非増大となることを，天羽隆史氏(立命館大)との共同研究で得つつある．これは，Philipowski氏との共同研究を継承する内容と位置づけられる．発見的考察は済み，技術的な困難を克服していく段階にある．
これらの結果について国内外の研究集会で発表，および関連分野の研究者と議論し，広く関心を得た．特に，議論の発展として，一般の測度距離空間の枠組で「曲率次元条件」に相当する他の定式化との関係を調べる共同研究をK.-T. Sturm氏，M. Erbar氏(Bonn大)と着手した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
測度距離空間上の解析については，次元についての情報を加味した形での研究に着手し，一定の成果を得つつある．また，新たな共同研究は，理想的な形で実れば，当該分野の基礎となるべき極めて重要な進展をもたらすものと期待できる．Hopf-Lax半群に対する研究を推進することで，Ricci流の下での解析の手段へとその枠組を広げることができると考えられる．昨年度に得た結果はそのための礎ともみなせ，今後の進展への手がかりを得たと言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
Erbar氏，Sturm氏とは，今後も連絡を密に取ることで当該共同研究の推進へと力を注ぐ．現状では，他の結果に比べて，sub-Riemann多様体上での解析のみ進展がやや遅れている．P. Lee氏とは当該分野に関する継続中の共同研究があるので，一層の進展を心掛ける．Ricci流の解析については，天羽隆史氏(立命館大)との共同研究が進展中である．この結果を押し進め，前述のHopf-Lax半群の解析と結合できる形まで，それぞれの研究を進める．
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