| Research Abstract |
本研究では,ハミルトン偏微分方程式に対し,ラグランジュ力学に基づく新しいエネルギー保存型数値解法を構築し,それを発展させることで,解析力学的性質を保った数値解法を得ることを目的としている.平成22年度は,申請時に,非線形Klein-Gordon方程式について既に着想を得ていたアイデアを一般化し,実際に,あるクラスの偏微分方程式に対してラグランジュ力学に基づいたエネルギー保存型数値解法を得る方法を考案した.特に,KdV方程式やBBM方程式などといった,ラグランジアンがポテンシャルを用いて表されるような方程式に対しても,本手法は適用可能であることを示し,また,実際に数値実験を行うことで,その性能を評価した.また,非線形Klein-Gordon方程式については,写像法と呼ばれる,座標変換を利用したアイデアを用い,非一様格子への拡張も行った.一方,本手法では,Noetherの定理を利用し,系のもつ時間対称性を利用してエネルギー保存型数値解法を導出するが,同様のアイデアは他の対称性にも適用可能と思われる.そこで,空間対称性を用いた運動量保存型数値解法の導出など,その他の数値解法の導出にも取り組んだ.特に,非線形Klein-Gordon方程式については,等速移動している移動メッシュについて,時空間上の対称性を利用して保存型数値解法を構築した.運動量保存数値解法とエネルギー保存数値解法については,KdV方程式の場合を例として,数値実験による比較も行った.その結果,運動量保存数値解法に比べ,エネルギー保存数値解法のほうが,やや良い計算結果を与える傾向があることが分かった.
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