2022 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis on metric measure spaces by optimal transport theory and Markov processes
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22H04942
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
桑江 一洋 福岡大学, 理学部, 教授 (80243814)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
塩谷 隆 東北大学, 理学研究科, 教授 (90235507)
太田 慎一 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (00372558)
石渡 聡 山形大学, 理学部, 准教授 (70375393)
櫻井 陽平 埼玉大学, 理工学研究科, 准教授 (90907958)
江崎 翔太 福岡大学, 理学部, 助教 (40784533)
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| Project Period (FY) |
2022-04-27 – 2027-03-31
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| Keywords | Dirichlet 形式 / マルコフ過程 / 測度距離空間 / RCD空間 / Tamed Dirichlet 空間 / CD(β, N)空間 / MCP(β, N)空間 / 測度集中現象 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
桑江は分担者の江崎翔太氏と院生と共同でTamed Dirichlet space の枠組みでLittlewood-Paley-Stein 不等式の導出に成功した。また、ミシガン州立大学の北川潤氏と共同で非崩壊のRCD空間上のMorreyの不等式を得た。塩谷はGH空間の自然なコンパクト化を構成した（中島と共同）。測度距離空間とその上の等長かつ保測な群作用の収束について研究した（中島と共同）．次元が無限大へ発散するような楕円体と楕円面の列が無限次元ガウス空間へ集中位相で収束することを示した（数川と共同）。分担者である太田は、Mathias Braun氏（Fields Institute）と共同で、ローレンツ多様体で最近McCannによって確立された重みつきリッチ曲率の下限と曲率次元条件の同値性を重みつきフィンスラー時空に一般化する研究を行った。石渡は非コンパクトリーマン多様体の連結和上の分散とディリクレエネルギーの比として定義されるポアンカレ定数の研究行った。またリーマン多様体上の非対称拡散過程の離散近似について慶應義塾の河備浩司氏と成果を得た。櫻井は距離空間の間の調和写像に関する研究を行った。特に強可縮な測度距離空間からCAT(1)空間内の正則測地球への調和写像に関するDirichlet問題について考察し結果を得た。また國川慶太氏（宇都宮大学）と共同で優Ricci流（Ricci流の優解）の幾何解析に関する研究を行った．Bamler-ZhangはRicci流の特異時刻におけるスカラー曲率の振る舞いを理解するという動機から，スカラー曲率が有界なRicci流の幾何解析を発展させた。江崎は江崎は九大の数川大輔氏と福大の三石史人氏と共同で、Gromovのピラミッドと測度集中について研究をおこな成果を得た。また、一般化コーシー分布に付随する測度集中現象についても成果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
応募時に明記した研究課題は以下の(a),(b),(c),(d),(e),(f)であった。(a): 関数または符号値測度を曲率下限とするRCD空間あるいはその拡張空間の研究, (b):劣リーマン多様体を包括するQCD空間上の汎函数解析, (c): 測度集中現象の解析ならびにそのデータ科学との関わり, (d): リーマン多様体上の非対称作用素による負パラメータBakry-Emery リッチ曲率条件下でのリュウビル型定理, (e): 課題(a),(b)の枠組みでの胴径過程の半マルチンゲール表現, (f): ベクトル場によるローレンツ・フィンスラー多様体上での負パラメータNでの N-Bakry-Emery リッチ曲率下限条件での幾何解析。令和４年度において(a),(d) については想定を超える研究の進展が見出せた。(c)については分担者塩谷が雇用している横田滋亮氏により測度集中現象によるデータ解析研究の最初の研究の萌芽があった。(f)については分担者太田によって勾配型のベクトル場の場合に一定の方向性が見出された。(b),(d) については時間的制約から研究が進展しなかった。また申請書に明記した内容ではないが(c)については分担者江崎が測度集中現象とピラミッドの解析に最初の着想を得ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
課題(a)についてはtamed Dirichlet 空間での1-形式に対するLittlewood-Paley-Stein 不等式とRiesz 変換の有界性の導出を目指す。また課題(b)については劣リーマン多様体の統合的扱いについてEmanuel MilmanによるQCD空間の枠組みを参考にEuler的定式化の導入を目指していく。課題(c)については塩谷と太田を中心に測度集中現象の研究の進展を図っていく。また課題(d)についてはリッチ流を土台とした純粋な幾何解析な方法で調和関数あるいは調和写像の勾配評価の導出を目指していく。課題(e)については課題(a)の進捗に依存するので課題(a)の進捗に合わせて成果の導出を図っていく。課題(f)についても太田と櫻井とともに成果を目指していく。
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| Remarks |
上記以外に https://sites.google.com/view/gometryandprobability/ https://sites.google.com/site/mathsakurai/ https://sites.google.com/view/shioya60/ 等がある。
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