2022 Fiscal Year Research-status Report
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22K03235
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University |
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Principal Investigator |
古澤 昌秋 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50294525)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 保型L函数 / L函数の特殊値 / ジーゲル保型形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ベッヘラー予想 (Boecherer's Conjecture)のトーラス上の指標が非自明な 場合への拡張、すなわち、一般化されたベッヘラー予想について、森本和輝(神戸大学)との共同研究によって論文を完成した。論文はarXivにアップロードされ、さらに、国際学術誌に投稿され、査読を受けているところである。応用上、重要であると思われる、アーベル曲面と関係すると予想される重さ2の場合もtemperedの仮定のもとで含むことができた。また、ベクトル値ジーゲル保型形式の場合を含む形で証明し、明示公式における2ベキに関する曖昧さも解消できた。この結果には、今後様々な応用が期待される。
ポアンカレ級数との関連について、先行研究を調べてみた。研究代表者がShalikaとの共同研究で得た、行列変数のKloosterman和の明示公式を用いたものは、先行研究には見当たらなかった。具体的な研究の進行方向はまだ、はっきりとはしていないが、研究を継続して行く予定である。
関連した問題として、代数的保型形式（コンパクト群上の保型形式）の周期と保型L函数の関係についての検討をKimball Martinと行った。いくつかの例について考察したが、具体的に保型L函数の特殊値と結び付けられる例は見つけられなかった。検討を続けたい。
COVID-19の影響によって、対面で、この研究成果を国内外に発信することは難しかったが、令和5年になってから、1月に京都大学で開催された研究集会「保型形式と数論」と3月にドイツのPaderborn Universityで開催された研究集会「Special Values of L- functions」において、一般化されたベッヘラー予想についての講演を行うことができた。Paderbornにおいては講演後、多くの質問を受けた。関心の高さを示しているものと思う。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初考えていたよりも、ずっと時間がかかってしまったが、満足の行く形で論文にまとめられたことは大いに評価して良いと思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
ポアンカレ級数との関連については、他のいくつかの群に関しても研究が行われている。しかし、これらの場合については、Kloosterman和自体が複雑でわかりにくいものになっている。また、次数２のジーゲル保型形式の場合についても、先行研究よりも詳しい形でのKloosterman和の明示公式が使えるかもしれないので、その点を調べてみたい。
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| Causes of Carryover |
令和５年になるまで、対面での研究集会で研究交流を行う機会が少なかった。令和５年度は積極的に国内外の研究者たちと交流することを考えている。
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