Modular linear differential equations and vertex operator algebras

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 22K03249
• Research Institution: Kagoshima University
• Principal Investigator: 有家 雄介 鹿児島大学, 法文教育学域教育学系, 准教授 (50583770)
• Project Period (FY): 2022-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 頂点作用素代数 / モジュラー微分方程式 / モジュラーロンスキアン / モジュラー形式

Outline of Annual Research Achievements

今年度は，頂点作用素超代数の指標の満たすモジュラー微分方程式について研究を行った．特に，よく知られた頂点作用素超代数である，N=1およびN=2のスーパーヴィラソロ代数に付随する頂点作用素超代数の表現の指標の満たす微分方程式について考察した．頂点作用素超代数において，現れる微分方程式の係数は，テータ群のモジュラー形式となる．そこで，テータ群のベクトル値モジュラー形式のモジュラーロンスキアンについて考察し，モジュラーロンスキアンを表す公式を見出した．この公式を用いて，ベクトル値モジュラー形式の成分の生成する空間がモジュラー微分方程式の解空間と一致するかどうかを判定する手法を与えた．この結果を用いて，極小モデルとよばれる中心電荷を持つN=1スーパーヴィラソロ代数から構成される頂点作用素超代数の指標はテータ群のモジュラー微分方程式の解空間を生成することを証明した．さらに，ユニタリ系列と呼ばれる中心電荷を持つN=2スーパーヴィラソロ代数から構成される頂点作用素超代数の指標とモジュラー微分方程式の関係についても考察を進め，いくつかの特別な中心電荷について，既約表現の指標の生成する空間が，モジュラー微分方程式の解空間となることを確かめた．より一般のユニタリ系列の中心電荷についても考察を進め，いくつかの場合にモジュラーロンスキアンの形を予想した．この予想を証明できれば，一般のユニタリ系列の場合に，モジュラー微分方程式と指標の関係を明らかにできることが期待される．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

モジュラー微分方程式を用いた頂点作用素超代数の分類に対して，最初に突破すべき結果を証明することができたため．

Strategy for Future Research Activity

これまでに得られた知見をもとに，モジュラー微分方程式の階数を固定した場合に，どのような頂点作用素（超）代数が現れるかについて考察する．

Causes of Carryover

年度の前半は，コロナウイルスの影響で多くの研究会がオンラインとなったため，旅費の未使用額が発生した．次年度には，研究会や研究討論のための旅費として使用する．