2022 Fiscal Year Research-status Report
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22K03259
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| Research Institution | Fukuoka Institute of Technology |
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Principal Investigator |
菊田 俊幸 福岡工業大学, 情報工学部, 助教 (60569953)
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| Project Period (FY) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| Keywords | Siegelモジュラー形式 / テータ級数 / 法p特異モジュラー形式 / 合同 / p進モジュラー形式 / Eisenstein級数 / ジーナステータ級数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は、主にSiegelモジュラー形式の場合に定義される「法p特異モジュラー形式」の具体的構造の解明および、そのp進Siegel Eisenstein級数への応用を試み、いくらか成果が得られた。具体的には以下の通りである。
(1) 前研究期間の最終年度の終盤において、かなり一般の場合に、レベルNの法p特異モジュラー形式は、レベル「pベキ」×Nの形のテータ級数の一次結合と法pで合同になることを示した。当該年度は、主に上記結果の法pベキへの拡張を目標として始動し、実際にこの拡張が得られた。
(2) 一般次数の場合のレベル1のSiegel Eisenstein級数のp進極限として定義されるp進Siegel Eisenstein級数について考える。上記(1)の理論を用いて、このp進Siegel Eisenstein級数は、レベルpのジーナステータ級数の一次結合で表されることを示した。さらに、このp進Siegel Eisenstein級数のU(p)作用素に関する固有値が1であることを示した。Siegelの主定理により、このp進Siegel Eisenstein級数が再びEisenstein級数の空間に属することが従う。U(p)固有値が1であることから、(重さが大きい場合には)どのEisenstein級数になるかが完全に特徴付けられる。尚、ジーナステータ級数との一致に関する結果は、重さが1や2の特別な場合は、長岡や桂田-長岡によって既に示されていた事実である。次数が特別な場合は、さらに多数の類似の結果が知られている。
以上2件の成果は、いずれもSiegfried Boecherer氏との共同研究によるものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の主な目標の一つとして挙げられていた、法p特異モジュラー形式の具体的構造の解明については、前研究期間の最終年度の終盤に成果が挙げられた。これにより、上記構造解明に関する当該年度の研究は、既に挙がっている成果のより広い範囲への拡張と、細かい条件の整理に留められた。その分、早い段階でp進Siegel Eisenstein級数への応用に着手することが可能となり、こちらも当該年度中に成果が挙げられた。以上のことから、本研究課題の進捗状況としては順調であると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究では、法p特異モジュラー形式と関連して、Θ作用素の法pベキにおける核や像について調べる。これまでのSiegfired Boecherer氏との共同研究により、いくつかの解決方策が練られてきており、これを基に議論していく。共同研究者であるマンハイム大学のSiegfired Boecherer氏や、国内の関連の研究者の招聘や訪問を複数回行う予定である。また、関連分野の研究集会に参加し、情報収集を行いながら研究を推進する予定である。
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| Causes of Carryover |
当該年度の研究は、当初の予定よりも順調に進み、理論的研究に専念した。そのため、専門図書の購入や、数値実験のための環境整備はほとんど行わなかった。これにより、次年度使用額が生じた。次年度に、専門図書の購入、必要に応じた数値実験のための環境整備、国内外への出張、共同研究者の招聘などに使用する予定である。
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